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Das reelle Standardskalarprodukt kann als Produkt eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor angesehen werden.

Das Standardskalarprodukt oder kanonische Skalarprodukt (manchmal auch „euklidisches Skalarprodukt“ genannt) ist das in der Mathematik normalerweise verwendete Skalarprodukt auf den endlichdimensionalen reellen und komplexen Standard-Vektorräumen bzw. . Mit Hilfe des Standardskalarprodukts lassen sich Begriffe wie Winkel und Orthogonalität vom zwei- und dreidimensionalen euklidischen Raum auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Wie jedes Skalarprodukt ist das Standardskalarprodukt eine positiv definite symmetrische Bilinearform (im komplexen Fall hermitesche Sesquilinearform) und invariant unter orthogonalen bzw. unitären Transformationen. Die vom Standardskalarprodukt abgeleitete Norm ist die euklidische Norm, mit deren Hilfe sich dann Begriffe wie Länge und Abstand in höherdimensionalen Vektorräumen definieren lassen.

Reelles StandardskalarproduktBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Das Standardskalarprodukt zweier reeller Vektoren   mit   und   ist definiert als

 ,

wobei   den transponierten Vektor zu   bezeichnet und das Ergebnis eine reelle Zahl ist. Das reelle Standardskalarprodukt berechnet sich also durch Multiplikation der jeweils entsprechenden Vektorkomponenten und durch Summation über alle diese Produkte. Alternativ wird das Standardskalarprodukt statt über spitze Klammern auch durch   oder   notiert.

BeispielBearbeiten

Das Standardskalarprodukt der beiden reellen Vektoren   und   im dreidimensionalen Raum ist

 .

Skalarprodukt-AxiomeBearbeiten

Das reelle Standardskalarprodukt erfüllt auf natürliche Weise die Axiome eines reellen Skalarprodukts. Es ist bilinear, das heißt linear sowohl im ersten Argument, da

    und
 ,

als auch im zweiten Argument, da

    und
 .

Weiter ist es symmetrisch, da

 ,

und positiv definit aufgrund von

  und
 .

Komplexes StandardskalarproduktBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Das Standardskalarprodukt zweier komplexer Vektoren   kann auf zwei Weisen definiert werden, entweder durch

 

oder durch

 .

Hierbei bezeichnet der Überstrich die komplexe Konjugation und   den adjungierten Vektor zu  . Das komplexe Standardskalarprodukt berechnet sich durch Multiplikation der entsprechenden Vektorkomponenten, wobei immer eine der beiden Komponenten konjugiert wird, und durch Summation über alle diese Produkte. In beiden Varianten ist das Ergebnis eine komplexe Zahl und aufgrund von   unterscheiden sich diese beiden Zahlen nur bezüglich komplexer Konjugation.

BeispielBearbeiten

Das Standardskalarprodukt der beiden Vektoren   und   im zweidimensionalen komplexen Raum ist in der ersten Variante

 

und in der zweiten Variante

 .

Beide Varianten führen also bis auf komplexe Konjugation zum gleichen Ergebnis.

Skalarprodukt-AxiomeBearbeiten

Die folgenden Axiome eines komplexen Skalarprodukts werden für die erste Variante aufgeführt, für die zweite Variante gelten sie analog durch Vertauschen der Konjugation. Das komplexe Standardskalarprodukt ist sesquilinear, das heißt semilinear im ersten Argument, da

    und
 ,

sowie linear im zweiten Argument, da

    und
 .

Weiter ist es hermitesch, da

 ,

und positiv definit aufgrund von

  und
 ,

wobei   der Betrag einer komplexen Zahl ist. In der zweiten Variante ist das Standardskalarprodukt linear im ersten und semilinear im zweiten Argument. Aus dem komplexen Fall erhält man den reellen Fall durch Weglassen der Konjugation und der Beträge sowie durch Ersetzen der Adjungierung durch die Transposition.

EigenschaftenBearbeiten

Cauchy-Schwarz-UngleichungBearbeiten

Das Standardskalarprodukt erfüllt wie jedes Skalarprodukt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, das heißt für alle   mit   oder   gilt

 .

Im reellen Fall können dabei die Betragsstriche auf der linken Seite weggelassen werden. Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist eine der zentralen Ungleichungen der linearen Algebra und der Analysis. Beispielsweise folgt aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, dass das Standardskalarprodukt eine stetige Funktion   ist.

VerschiebungseigenschaftBearbeiten

Das Standardskalarprodukt besitzt folgende Verschiebungseigenschaft für alle Matrizen   und alle Vektoren  :

 ,

wobei   die transponierte Matrix von   ist. Analog dazu gilt für das komplexe Standardskalarprodukt für alle Matrizen   und alle Vektoren  

 ,

wobei   die adjungierte Matrix von   ist.

Unitäre InvarianzBearbeiten

Das reelle Standardskalarprodukt ändert sich unter orthogonalen Transformationen nicht, das heißt für eine orthogonale Matrix   gilt mit der Verschiebungseigenschaft

 ,

wobei   die inverse Matrix und   die Einheitsmatrix der Größe   ist. Solche Transformationen sind typischerweise Drehungen um den Nullpunkt oder Spiegelungen an einer Ebene durch den Nullpunkt. Analog dazu ist das komplexe Standardskalarprodukt invariant unter unitären Transformationen, das heißt für eine unitäre Matrix   gilt entsprechend

 .

Abgeleitete BegriffeBearbeiten

WinkelBearbeiten

Über das reelle Standardskalarprodukt wird der Winkel   zwischen zwei Vektoren   durch

 

definiert. Aufgrund der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist der Nenner dieses Bruchs mindestens so groß wie der Betrag des Zählers und somit liegt der Winkel   im Intervall  , also zwischen   und  . Sind die beiden Vektoren   und   Einheitsvektoren, dann entspricht der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels gerade ihrem Standardskalarprodukt. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.[1]

OrthogonalitätBearbeiten

Sowohl im reellen, als auch im komplexen Fall werden zwei Vektoren orthogonal (rechtwinklig) genannt, wenn ihr Standardskalarprodukt

 

ist. Dies entspricht im reellen Fall dann gerade einem rechten Winkel von   zwischen den beiden Vektoren, sofern diese ungleich dem Nullvektor sind.

Betrachtet man eine Ursprungsgerade, Ursprungsebene oder allgemein einen  -dimensionalen Untervektorraum   des  -dimensionalen reellen oder komplexen Raums und ist   eine Orthonormalbasis von  , dann ist

 

die Orthogonalprojektion eines Vektors   des Ausgangsraums auf diesen Unterraum. Dabei liegt der Differenzvektor   im orthogonalen Komplement von  , er steht also senkrecht auf allen Vektoren des Unterraums, das heißt, es gilt   für alle Vektoren  .

NormBearbeiten

Die von dem Standardskalarprodukt abgeleitete (induzierte) Norm eines reellen oder komplexen Vektors

 

heißt euklidische Norm. Diese Definition ist wohldefiniert, da das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst reell und nichtnegativ ist. Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weggelassen werden. Mit der euklidischen Norm kann die Länge eines Vektors bestimmt werden.

MetrikBearbeiten

Von der euklidischen Norm wird wiederum der euklidische Abstand zweier Vektoren

 

abgeleitet. Auch hier können im reellen Fall die Betragsstriche weggelassen werden. Mit diesem Abstandsbegriff erhält man eine Metrik und von dieser Metrik eine Topologie, die Standardtopologie auf dem   bzw.  .

VerallgemeinerungenBearbeiten

Endlichdimensionale VektorräumeBearbeiten

Die bisherigen Überlegungen lassen sich von den Standardräumen   bzw.   auch auf allgemeine reelle oder komplexe Vektorräume   endlicher Dimension   übertragen.[2] Ist   eine Orthonormalbasis von   bezüglich eines (beliebigen) Skalarprodukts  , dann hat jeder Vektor   die Komponentendarstellung

  mit     für  ,

wobei   die Komponenten des Vektors zu dieser Basis und die Faktoren   die Koordinaten des Vektors sind. Die Koordinaten sind dabei die Längen der Orthogonalprojektionen des Vektors auf die jeweiligen Basisvektoren. Das Skalarprodukt zweier Vektoren   kann dann über das Standardskalarprodukt der Koordinatenvektoren durch

 

berechnet werden, wobei entsprechende Darstellungen auch in der anderen komplexen Variante und im reellen Fall gelten. Interpretiert man reelle oder komplexe Matrizen als entsprechend lange (Spalten-)Vektoren, dann entspricht das Standardskalarprodukt solcher Vektoren gerade dem Frobenius-Skalarprodukt der zugehörigen Matrizen.

FolgenräumeBearbeiten

Das Standardskalarprodukt kann auch auf Folgen und damit auf unendlichdimensionale Vektorräume verallgemeinert werden. Allerdings muss dabei der zugrundeliegende Folgenraum eingeschränkt werden, damit das Skalarprodukt endlich bleibt. Hierzu betrachtet man den Raum   der reell- oder komplexwertigen Folgen  , für die

 

gilt. Das  -Skalarprodukt zweier solcher quadratisch summierbarer Folgen   ist dann durch

 

definiert. Allgemeiner kann man auch statt der natürlichen Zahlen eine beliebige Indexmenge   wählen und betrachtet dann den Raum   der quadratisch in   summierbaren Folgen mit dem Skalarprodukt

 .

In beiden Fällen erhält man wiederum durch Weglassen der Konjugation den reellen Fall und durch Verlagerung der Konjugation auf die zweite Komponente die andere komplexe Variante.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Steffen Goebbels, Stefan Ritter: Mathematik verstehen und anwenden. Gabler, 2011, ISBN 978-3-8274-2761-8.
  • Jörg Liesen, Volker Mehrmann: Lineare Algebra: Ein Lehrbuch über die Theorie mit Blick auf die Praxis. Gabler, 2012, ISBN 978-3-8348-0081-7.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Klaus Scharnhorst: Angles in complex vector spaces. In: Acta Applicandae Math. Band 69, 2001, S. 95–103.
  2. Goebbels, Ritter: Mathematik verstehen und anwenden. S. 445.

WeblinksBearbeiten