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Die Linearform ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit eine lineare Abbildung von einem Vektorraum in den zugrundeliegenden Körper.

Im Kontext der Funktionalanalysis, das heißt im Falle eines topologischen - oder -Vektorraums, sind die betrachteten Linearformen meistens stetige lineare Funktionale.

DefinitionBearbeiten

Es sei   ein Körper und   ein  -Vektorraum. Eine Abbildung   heißt Linearform, wenn für alle Vektoren   und Skalare   gilt:

  1.   (Additivität);
  2.   (Homogenität).

Die Menge aller Linearformen über einem gegebenen Vektorraum   bildet dessen Dualraum   und damit selbst wieder in natürlicher Weise einen  -Vektorraum.

EigenschaftenBearbeiten

Allgemeine Eigenschaften für Linearformen sind zum Beispiel:

  • Wie jede lineare Abbildung sind sie durch ihre Werte für eine beliebige Basis von   vollständig bestimmt.
  • Sie sind entweder trivial (überall identisch  ) oder surjektiv.
  • Haben zwei von Ihnen gleiche Kerne, so unterscheiden sie sich nur durch die Multiplikation mit einem Skalar.

Speziell für lineare Funktionale gilt außerdem:

  • Sie sind genau dann stetig wenn ihr Kern abgeschlossen ist.
  • Ihr absoluter Betrag ist stets eine Halbnorm auf  .
  • Lineare Funktionale   sind genau die Abbildungen  , wobei   einen Vektor und   das Standardskalarprodukt bezeichnen.

Linearform als TensorBearbeiten

Eine Linearform   ist ein kovarianter Tensor erster Stufe; man nennt sie deshalb manchmal auch 1-Form. 1-Formen bilden die Grundlage für die Einführung von Differentialformen.

Verwandte BegriffeBearbeiten

Gilt speziell   und ändert man die zweite Bedingung in   ab, wobei   das komplex Konjugierte von   bezeichnet, erhält man eine Semilinearform.

Eine Abbildung, die linear oder semilinear in mehr als einem Argument ist, ist eine Sesquilinearform, eine Bilinearform, oder allgemein eine Multilinearform.

LiteraturBearbeiten