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Ursprungsgeraden in der euklidischen Ebene

Eine Ursprungsgerade ist in der Mathematik eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung eines gegebenen kartesischen Koordinatensystems verläuft. Daher werden Ursprungsgeraden durch besonders einfache Geradengleichungen beschrieben. Die Ortsvektoren der Punkte einer Ursprungsgerade bilden einen eindimensionalen Untervektorraum des euklidischen Raums.

Inhaltsverzeichnis

Ursprungsgeraden in der EbeneBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Eine Ursprungsgerade in der euklidischen Ebene ist eine Gerade, die durch den Ursprung   des Koordinatensystems verläuft. In der Koordinatenform besteht eine Ursprungsgerade damit aus denjenigen Punkten der Ebene, deren Koordinaten   die Geradengleichung

 

erfüllen, wobei   und   Parameter sind, die nicht beide gleich null sein dürfen. Durch Auflösen dieser Gleichung nach   erhält man, sofern   ist, die einfachere Form

 

mit der Steigung  . In dieser Form kann eine Ursprungsgerade allerdings nicht senkrecht zur x-Achse verlaufen.

BeispieleBearbeiten

Wichtige Beispiele für Ursprungsgeraden sind die beiden Koordinatenachsen mit den Geradengleichungen

    und    .

Weitere wichtige Beispiele für Ursprungsgeraden sind die Winkelhalbierenden des I. und III. sowie des II. und IV. Quadranten mit den Geradengleichungen

    und    .

VektorgleichungenBearbeiten

Ursprungsgeraden können auch durch Vektorgleichungen beschrieben werden. In Parameterform besteht eine Ursprungsgerade dann aus denjenigen Punkten der Ebene, deren Ortsvektoren   die Gleichung

 

für   erfüllen. Die Ortsvektoren der Punkte einer Ursprungsgerade sind also skalare Vielfache des Richtungsvektors  . Alternativ kann eine Ursprungsgerade auch in Normalenform über die Normalengleichung

 

angegeben werden. Hierbei stellt   einen Normalenvektor der Gerade und   das Skalarprodukt der beiden Vektoren   und   dar. Eine Ursprungsgerade besteht dann aus denjenigen Punkten der Ebene, deren Ortsvektoren senkrecht auf dem gegebenen Normalenvektor stehen.

LotgeradeBearbeiten

Zu jeder Ursprungsgerade existiert eine dazu senkrechte Gerade, die ebenfalls durch den Koordinatenursprung verläuft. Diese Lotgerade hat dann die Koordinatendarstellung

 

beziehungsweise, sofern die Steigung der Ausgangsgerade   ist,

 .

Ein Normalenvektor der Ausgangsgerade ist ein Richtungsvektor der Lotgerade und ein Richtungsvektor der Ausgangsgerade ein Normalenvektor der Lotgerade.

Ursprungsgeraden im RaumBearbeiten

 
Eine Ursprungsgerade im dreidimensionalen Raum

DefinitionBearbeiten

Durch Vektorgleichungen können auch Ursprungsgeraden in höherdimensionalen euklidischen Räumen beschrieben werden. In Parameterform besteht eine Ursprungsgerade mit Richtungsvektor   dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren   die Gleichung

 

für   erfüllen. Eine Ursprungsgerade besteht damit wie im zweidimensionalen Fall aus allen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren ein skalares Vielfaches des Richtungsvektors der Gerade sind. Durch eine Normalengleichung wird allerdings in drei- und höherdimensionalen Räumen keine Gerade mehr, sondern eine Hyperebene beschrieben.

BeispieleBearbeiten

Im dreidimensionalen Raum können die drei Koordinatenachsen durch die Geradengleichungen

    und    

für   angegeben werden. Hierbei sind  ,   und   die drei Standard-Einheitsvektoren.

Abstand eines PunktsBearbeiten

Der Abstand eines Punkts mit Ortsvektor   von einer Ursprungsgerade mit Richtungsvektor   beträgt  , wobei

 

der Ortsvektor des Lotfußpunkts, das heißt die Orthogonalprojektion des Vektors   auf die Gerade, ist.

VektorraumstrukturBearbeiten

Die Vektoren in einem euklidischen Raum bilden einen Vektorraum, den sogenannten Koordinatenraum. Die Menge der Ortsvektoren der Punkte einer Ursprungsgerade bildet dabei einen Untervektorraum des euklidischen Raums

 .

Dieser Untervektorraum ist gerade die lineare Hülle des Richtungsvektors   der Gerade. Die Ursprungsgeraden sind dabei die einzigen eindimensionalen Untervektorräume des euklidischen Raums.

Ursprungsgeraden als SchnittBearbeiten

 
Eine Ursprungsgerade als Schnitt zweier Ursprungsebenen

Die zweidimensionalen Untervektorräume des dreidimensionalen euklidischen Raums sind gerade die Ursprungsebenen. Der Schnitt zweier verschiedener Ursprungsebenen ergibt stets eine Ursprungsgerade, wobei der Richtungsvektor dieser Schnittgerade durch das Kreuzprodukt

 

der Normalenvektoren   und   der beiden Ursprungsebenen gegeben ist. Allgemein sind die  -dimensionalen Untervektorräume im  -dimensionalen euklidischen Raum Ursprungs-Hyperebenen und der Schnitt von   solchen Hyperebenen mit linear unabhängigen Normalenvektoren   ergibt stets eine Ursprungsgerade, deren Richtungsvektor durch das verallgemeinerte Kreuzprodukt

 

gegeben ist.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson: Angewandte Mathematik: Body and Soul 1. Springer, 2006, ISBN 3-540-35006-3.
  • Mike Scherfner, Torsten Volland: Mathematik für das erste Semester. Springer, 2012, ISBN 3-8274-2505-0.