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Eine Hyperebene (blau) im Anschauungsraum geht durch Verschiebung einer Ursprungsebene um einen Vektor (rot) hervor.

Eine Hyperebene ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung des Begriffs der Ebene vom Anschauungsraum auf Räume beliebiger Dimension. Ähnlich wie eine Ebene im dreidimensionalen Raum durch einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren beschrieben werden kann, wird eine Hyperebene im -dimensionalen Raum durch einen Stützvektor und Richtungsvektoren dargestellt. Im -dimensionalen Koordinatenraum ist eine Hyperebene die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit Unbekannten. Hyperebenen spielen daher eine wichtige Rolle bei der Lösungsstruktur linearer Gleichungs- und Ungleichungssysteme.

In der linearen Algebra werden Hyperebenen auch in unendlichdimensionalen Vektorräumen betrachtet und sind dort gerade die affinen Unterräume mit Kodimension eins. Jede Hyperebene entsteht durch Verschiebung eines Untervektorraums um einen festen Vektor. Kann dabei der Nullvektor gewählt werden, spricht man auch von einer linearen Hyperebene, da dann die Hyperebene selbst einen Vektorraum darstellt. Zur besseren Unterscheidung spricht man im Fall eines beliebigen Verschiebungsvektors auch von einer affinen Hyperebene.

Jeder Untervektorraum mit Kodimension eins kann auch als Kern eines linearen Funktionals charakterisiert werden. In der Funktionalanalysis werden insbesondere abgeschlossene Hyperebenen betrachtet, die durch stetige lineare Funktionale beschrieben werden. In der projektiven Geometrie werden auch projektive Hyperebenen als projektive Teilräume mit Kodimension eins untersucht. Einen noch weiter verallgemeinerten Hyperebenenbegriff findet man in der Matroidtheorie.

Inhaltsverzeichnis

Euklidische GeometrieBearbeiten

DefinitionBearbeiten

 
Parameterdarstellung einer Hyperebene im dreidimensionalen Raum

Eine Hyperebene im  -dimensionalen euklidischen Raum   ist eine Teilmenge   der Form

 ,

wobei   ein Stützvektor der Hyperebene ist und   linear unabhängige Richtungsvektoren der Hyperebene sind.[1] Die Richtungsvektoren spannen dabei ein affines Koordinatensystem auf, wobei   die affinen Koordinaten eines Punkts der Hyperebene sind.

BeispieleBearbeiten

  • Im eindimensionalen euklidischen Raum stellt jeder Punkt eine Hyperebene dar.
  • Im zweidimensionalen euklidischen Raum stellt jede Gerade eine Hyperebene dar.
  • Im dreidimensionalen euklidischen Raum stellt jede Ebene eine Hyperebene dar.

Weitere DarstellungenBearbeiten

Neben der obigen Parameterform gibt es noch weitere Darstellungsformen für Hyperebenen. In Normalenform lautet die Darstellung einer Hyperebene

 ,

wobei   ein Normalenvektor der Hyperebene ist,   wieder ein Stützvektor der Hyperebene ist und   das Standardskalarprodukt zweier Vektoren bezeichnet.[2] In hessescher Normalform hat eine Hyperebene die entsprechende Darstellung

 ,

wobei   ein normierter und orientierter Normalenvektor der Hyperebene ist und   den Abstand der Hyperebene vom Koordinatenursprung beschreibt.[2] Die hessesche Normalform erlaubt eine effiziente Berechnung des Abstands eines beliebigen Punkts des Raums von der Hyperebene.

In Koordinatenform lautet die Darstellung einer Hyperebene

 ,

wobei   sind und mindestens einer der Koeffizienten   ungleich null ist.[3] Die Koordinatenform ergibt sich aus der Normalenform durch Ausmultiplizieren, wobei   und   gesetzt werden.

VerwendungBearbeiten

 
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit   Gleichungen und   Unbekannten ist der Schnitt von   Hyperebenen im  -dimensionalen Raum (im Bild ist  )

Wie aus der Koordinatenform ersichtlich, stellt die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit   Unbekannten der Form

 

eine Hyperebene im  -dimensionalen euklidischen Raum dar. Jede Zeile eines linearen Gleichungssystems beschreibt daher eine solche Hyperebene. Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ist dann der Schnitt aller dieser Hyperebenen.[3] Entsprechend dazu beschreibt die Lösungsmenge einer linearen Ungleichung der Form

 

einen Halbraum im  -dimensionalen euklidischen Raum, der von einer Hyperebene begrenzt wird. Die Lösungsmenge eines linearen Ungleichungssystems ist dann der Schnitt solcher Halbräume und stellt damit ein konvexes Polytop dar, beispielsweise einen Hyperwürfel, ein Hyperrechteck oder einen Simplex (Hypertetraeder). Die lineare Optimierung beschäftigt sich mit Verfahren zur Maximierung eines vorgegebenen linearen Zielfunktion als in einem konvexen Polytop.[4]

Eine Hyperebene heißt Stützhyperebene einer gegebenen Menge im euklidischen Raum, wenn sie den Rand der Menge schneidet und die Menge vollständig in einem der beiden durch die Hyperebene definierten abgeschlossenen Halbräume liegt. Ist die Menge konvex, dann existiert für jeden Randpunkt der Menge eine solche Stützhyperebene.[5]

Nach dem Satz von Stone-Tukey (englisch Ham sandwich theorem) können   beschränkte messbare Mengen im  -dimensionalen euklidischen Raum durch eine Hyperebene gleichzeitig jeweils halbiert werden.

Lineare AlgebraBearbeiten

In der linearen Algebra wird das Konzept der Hyperebene auf Vektorräume über beliebigen Körpern und beliebiger Dimension verallgemeinert.

DefinitionBearbeiten

Ist   ein Vektorraum über dem Körper  , dann ist eine Hyperebene eine Teilmenge   der Form

 ,

wobei   ein beliebiger Vektor und   ein Untervektorraum von   mit Kodimension   ist. Hyperebenen sind demnach maximale echte affine Unterräume, das heißt, jeder echte affine Unterraum ist in einer Hyperebene enthalten. Eine Hyperebene wird als lineare Hyperebene bezeichnet, wenn sie den Nullvektor enthält, das heißt, wenn in der Definition   gewählt werden kann.

BeispieleBearbeiten

In den folgenden Beispielen sei   ein Körper der Charakteristik  , beispielsweise die reellen oder komplexen Zahlen.

  • Im Koordinatenraum   stellen die Koordinatenvektoren, die eine lineare Gleichung der Form   erfüllen, eine Hyperebene dar. Ist  , handelt es sich dabei um eine lineare Hyperebene.
  • Im Matrizenraum   stellen die Matrizen, bei denen die Summe aller Einträge konstant ist, eine Hyperebene dar. Ist diese Konstante  , handelt es sich dabei um eine lineare Hyperebene.
  • Im Polynomraum   stellen die Polynome der Form  , wobei   fest vorgegeben ist, eine Hyperebene dar. Im Fall   handelt es sich dabei um eine lineare Hyperebene.
  • Im Funktionenraum   stellen die Funktionen   mit   für ein festes   und   eine Hyperebene dar. Im Fall   handelt es sich dabei um eine lineare Hyperebene.

Weitere DarstellungenBearbeiten

Nachdem jeder Untervektorraum der Kodimension   auch als Kern eines linearen Funktionals  , das nicht das Nullfunktional ist, charakterisiert werden kann, hat eine Hyperebene die Darstellung[6]

 .

Durch Setzen von   ergibt sich daraus dann die äquivalente Darstellung[6]

 .

Hierbei sind   und   für eine gegebene Hyperebene nur bis auf einen gemeinsamen Faktor eindeutig bestimmt. Umgekehrt stellt das Urbild   für jedes lineare Funktional  , das ungleich dem Nullfunktional ist, und für jeden Skalar   eine Hyperebene dar.[6]

Diese Aussagen bleiben auch dann noch gültig, wenn   ein Schiefkörper und   ein Linksvektorraum über   ist.

VerwendungBearbeiten

In der Funktionalanalysis betrachtet man unendlichdimensionale Vektorräume über   oder  , auf denen eine Topologie erklärt ist, die sie zu topologischen Vektorräumen macht. Hier interessiert man sich besonders für Hyperebenen, die durch stetige lineare Funktionale definiert sind. Da ein lineares Funktional genau dann stetig ist, wenn sein Kern abgeschlossen ist,[7] definieren die stetigen linearen Funktionale ungleich dem Nullfunktional genau die abgeschlossenen Hyperebenen. Für normierte Räume, allgemeiner lokalkonvexe Räume, gibt es nach dem Satz von Hahn-Banach sehr viele solcher stetigen linearen Funktionale und damit auch abgeschlossene Hyperebenen der Form

 

mit  . Diese Reichhaltigkeit schlägt sich im Trennungssatz nieder, nach dem zwei disjunkte konvexe, kompakte Mengen durch eine solche abgeschlossene Hyperebene getrennt werden können.

Die Trennungseigenschaft lässt sich auch für affine Räume über angeordneten Körpern mit dem Konzept der (starken) Seiteneinteilung verallgemeinern. Auch für nichtdesarguessche affine Ebenen existiert in gewissen Fällen eine (schwache) Seiteneinteilung durch Geraden.

Projektive GeometrieBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Ist   der projektive Raum zu dem Vektorraum  , dann ist eine (projektive) Hyperebene eine Teilmenge   der Form

 ,

wobei   ein Untervektorraum von   der Kodimension eins ist und die Äquivalenzrelation   skalare Vielfache von Vektoren ungleich dem Nullvektor miteinander identifiziert. Die Hyperebenen in   sind demnach gerade die projektiven Unterräume der Kodimension eins. Eine projektive Hyperebene stellt selbst wieder einen projektiven Raum dar, nämlich gerade den Raum  . Ist    -dimensional, dann ist    -dimensional und    -dimensional.

BeispieleBearbeiten

Ist der zugrunde liegende Vektorraum   der euklidische Raum  , dann gibt es folgende Entsprechungen:

  • Eine Hyperebene (ein Punkt) auf der projektiven Geraden   entspricht einer Ursprungsgerade in der euklidischen Ebene  .
  • Eine Hyperebene (eine Gerade) in der projektiven Ebene   entspricht einer Ursprungsebene im euklidischen Raum  .
  • Eine Hyperebene (eine Ebene) im projektiven Raum   entspricht einer Ursprungshyperebene im euklidischen Raum  .

KoordinatendarstellungBearbeiten

 
Homogene Koordinaten zweier projektiver Hyperebenen   und   in der projektiven Ebene  

Sind   die homogenen Koordinaten eines Punkts im  -dimensionalen projektiven Standardraum  , dann hat eine projektive Hyperebene   die Koordinatendarstellung

 ,

wobei   sind und mindestens einer der Koeffizienten   ungleich null ist.

Eine nichtdesarguessche projektive Ebene lässt sich jedoch nicht auf diese Weise koordinatisieren. Dort sind die Hyperebenen per Definition die Geraden.

Bezug zu affinen RäumenBearbeiten

Ist   eine Hyperebene in einem projektiven Raum  , dann stellt die Menge

 

einen affinen Raum dar, wobei   eine entsprechende Einbettung von   in   ist. Der Translationsraum von   ist dabei gerade der zu   zugehörige Untervektorraum  . Die Punkte von   heißen dann eigentlich, die Punkte von   uneigentlich oder Fernpunkte. Umgekehrt lässt sich jeder affine Raum durch disjunkte Vereinigung mit einer Fernhyperebene gleicher Dimension zu einem projektiven Raum

 

erweitern. Ist beispielsweise   und  , dann ist die zugehörige Einbettung   mit der Inversen  .

VerwendungBearbeiten

Eine Anwendung projektiver Hyperebenen in der algebraischen Geometrie und der algebraischen Topologie bietet der Satz von Lefschetz über Hyperebenenschnitte, der einen Zusammenhang zwischen der Gestalt einer komplexen projektiven Varietät und der Gestalt ihrer Untervarietäten herstellt.

In der endlichen Geometrie haben unter den endlichen affinen oder projektiven Geometrien diejenigen besondere Eigenschaften, bei denen – neben den gewöhnlichen Punkten als Punktmenge – speziell die Hyperebenen des Raumes als Blockmenge gewählt werden.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

Reelle Geometrie und Funktionalanalysis

Lineare Algebra und analytische Geometrie

  • Hermann Schaal: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Band I und II. 2. durchgesehene Auflage. Vieweg, Braunschweig 1980, ISBN 3-528-13057-1.
  • Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra: unter Einschluß der linearen Algebra. 2., überarb. und erw. Auflage. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12203-0.
  • Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik für Mathematiker, Informatiker und Physiker. Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8.

Anwendungen in der Geometrie (Seiteneinteilung)

  • Wendelin Degen und Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
  • Emanuel Sperner: Die Ordnungsfunktionen einer Geometrie. In: Math. Ann. Band 121. Teubner, 1949, S. 107–130.

WeblinksBearbeiten

 Wiktionary: Hyperebene – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille, Andreas Meister: Höhere Mathematik für Ingenieure Band II: Lineare Algebra. Springer, 2012, ISBN 978-3-8348-2267-3, S. 81.
  2. a b Hermann Schichl, Roland Steinbauer: Einführung in das mathematische Arbeiten. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-28646-9, S. 462.
  3. a b Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra: Grundlagen und Anwendungen. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-32186-3, S. 41–42.
  4. Rainer E. Burkard, Uwe T. Zimmermann: Einführung in die Mathematische Optimierung. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-28673-5, S. 24.
  5. Rainer E. Burkard, Uwe T. Zimmermann: Einführung in die Mathematische Optimierung. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-28673-5, S. 247.
  6. a b c Max Koecher: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-96772-6, S. 167.
  7. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Volume I, Academic Press (1983), ISBN 0-12-393301-3, Korollar 1.2.5