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Ein Blockplan (auch Block-Design oder kombinatorisches Design) ist eine endliche Inzidenzstruktur, die insbesondere in der endlichen Geometrie, der Kombinatorik sowie der statistischen Versuchsplanung von Bedeutung ist. Blockpläne sind eine gemeinsame Verallgemeinerung der endlichen affinen Ebenen und der endlichen projektiven Ebenen.

Wichtige Methoden zur Charakterisierung von Blockplänen und zur Konstruktion neuer Blockpläne aus bekannten sind die Auflösung und die taktische Zerlegung eines Blockplanes. Die Auflösung verallgemeinert das Konzept des Parallelismus eines Blockplanes, wie es dieser Artikel beschreibt, und ist selbst ein Spezialfall der taktischen Zerlegung.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen und SchreibweisenBearbeiten

Sei   eine endliche Inzidenzstruktur, bei der die Elemente von   als Punkte und die Elemente von   als Blöcke bezeichnet werden. Des Weiteren seien   natürliche Zahlen, dann wird die Inzidenzstruktur   als  -Blockplan bezeichnet, wenn die folgenden Axiome gelten:[1][2]

  • (B1)   hat genau   Punkte, also  ,
  • (B2) jeder Block von   inzidiert mit genau   Punkten, also  ,
  • (B3) für jede Punktmenge   mit   verschiedenen Punkten existieren genau   verschiedene Blöcke, die jeweils mit allen Punkten von   inzidieren, also   und
  • (B4)  , das heißt   ist eine nichtausgeartete oder echte Inzidenzstruktur.

Als alternative Bezeichnung für einen  -Blockplan wird auch   verwendet. Im Falle von   schreibt man auch einfach   und spricht von einem Steinersystem (nach Jakob Steiner). Ein  -Blockplan ( ) wird auch als Steiner-Tripel-System bezeichnet.[3] Teilweise wird ein Blockdesign auch als   geschrieben, der zusätzliche Parameter   wird weiter unten erläutert.

Einen  -Blockplan bezeichnet man oft kurz auch  -Blockplan und einen  -Blockplan einfach als Blockplan, da   der am meisten verwendete Fall ist.

Die konstante Anzahl aller Blöcke   von   durch einen Punkt   von   wird mit   bezeichnet und die Anzahl aller Blöcke von   mit  .

In Anlehnung an bestimmte geometrische Modelle für einen Blockplan werden seine Blöcke gelegentlich auch als Geraden, Kreise, Ebenen oder Ähnliches bezeichnet. Wenn ein Punkt   mit einem Block   inzidiert, also  , so sind auch die folgen Sprechweisen üblich:   liegt auf   oder   geht durch  . Inzidiert ein Punkt mit mehreren Blöcken, so sagt man auch, dass die Blöcke sich in   schneiden.

Blockpläne, bei denen ein Block mit allen Punkten inzidiert, oder bei denen die  -elementigen Teilmengen der Punktmenge genau den Blöcken entsprechen, werden als triviale Blockpläne bezeichnet.

Ein Block   muss formal von der mit ihm inzidierenden Punktmenge   unterschieden werden, allerdings ist es in der Praxis meist möglich, einen Block mit seiner inzidierenden Punktmenge zu identifizieren und die Inzidenzrelation als mengentheoretisches Enthaltensein zu interpretieren. Solche Blockpläne werden auch als einfach bezeichnet (vgl. die Beispiele im Artikel „Inzidenzstruktur“).

EigenschaftenBearbeiten

Für die Anzahl der Blöcke eines  -Blockplans gilt:

 .

Mit   für   bezeichnet man die Anzahl der Blöcke, die mit allen Punkten einer beliebigen Punktmenge   mit   Punkten inzidieren, also  , für diese gilt:

 .

Ein Blockplan mit gegebenen Parametern kann nur dann existieren, wenn diese   ganze Zahlen sind. Dies nennt man die Teilbarkeitsbedingungen für die Existenz von Blockplänen.

Für  -Blockpläne ergibt sich aus den beiden Formeln unter Berücksichtigung von  :

 .

Außerdem gilt für die  -Blockpläne die Fisher-Ungleichung:[4]

 .

Neben den unten bei den Beispielen erwähnten, endlichen, projektiven und affinen Räumen stehen Blockpläne in Wechselbeziehungen zu vielen anderen Strukturen der Kombinatorik. So ist zum Beispiel die Existenz eines  -Blockplans mit   äquivalent zur Existenz einer Hadamard-Matrix der Ordnung  . Aus diesem Grund werden solche Blockpläne auch als Hadamard-Blockpläne bezeichnet. Den Zusammenhang zwischen Codes und Blockplänen beschreibt der Satz von Assmus-Mattson.

Eine zentrale Frage in der Theorie der Blockpläne ist, für welche Werte der Parameter   überhaupt ein Blockplan existiert. Ein bahnbrechendes Ergebnis von Peter Keevash (2014) zeigt, dass die Teilbarkeitsbedingungen für die Existenz hinreichend sind, wenn die Zahl   der Punkte genügend groß ist.[5][6][7][8]

Außerdem gibt es eine Reihe von notwendigen Kriterien für die Existenz bestimmter Blockpläne, mit denen man viele Parameterkombinationen ausschließen kann. Solche Kriterien liefern zum Beispiel die verallgemeinerte Fisher-Ungleichung (auch Satz von Ray-Chaudhuri-Wilson genannt) und der Satz von Bruck-Ryser-Chowla.

Symmetrische BlockpläneBearbeiten

Ein Blockplan, der genauso viele Blöcke wie Punkte besitzt  , wird als symmetrisch oder projektiv bezeichnet. Symmetrische Blockpläne können unter den 2-Blockplänen durch verschiedene, gleichwertige Aussagen charakterisiert werden: Sei   ein  -Blockplan, sei   die Gesamtzahl seiner Blöcke und sei   eine Inzidenzmatrix dieses Blockplanes. Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig:[9]

  1. Die Anzahl der Punkte ist gleich der Anzahl der Blöcke   und damit gilt auch  , das heißt   ist symmetrisch. Es gilt  
  2. Die Zahl der Blöcke, mit denen ein beliebiger Punkt inzidiert, ist gleich der Zahl der Punkte, mit denen ein beliebiger Block inzidiert  .
  3.   hierbei ist   die  -Einheitsmatrix,   die  -Einsmatrix
  4.   hierbei ist   die  -Einheitsmatrix,   die  -Einsmatrix
  5. Je zwei verschiedene Blöcke schneiden sich in genau   Punkten.
  6. Je zwei verschiedene Blöcke haben eine konstante, positive Anzahl von Punkten gemeinsam, das heißt,   erfüllt die Regularitätsbedingung  . Siehe Regularitätsbedingungen und Typen von endlichen Inzidenzstrukturen.
  7.   hat als Inzidenzstruktur den Typ  , das heißt,   erfüllt die Regularitätsbedingungen  .

Das Intervall, in dem die Anzahl   der Punkte (bzw. Blöcke) in Bezug auf die Ordnung   eines symmetrischen  -Blockplans variiert, ergibt sich als  , sofern ein nicht trivialer Blockplan mit   vorliegt. Der untere Extremalfall   ist gegeben für Hadamard-Blockpläne und der obere Extremalfall   für die endlichen projektiven Ebenen.[10][11]

Parallelismen und affine BlockpläneBearbeiten

Ein Parallelismus eines Blockplans   ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Blöcke, für die das euklidische Parallelenpostulat gilt:

Zu jedem Block   und jedem Punkt   gibt es genau einen Block   inzident mit   der zu   parallel ist.

Hierbei werden Blöcke als parallel (Schreibweise  ) bezeichnet, wenn sie in derselben Äquivalenzklasse liegen. Die Äquivalenzklassen selbst werden auch als Parallelenklassen oder Parallelenscharen bezeichnet. Für zwei parallele Blöcke   gilt, dass sie (genauer: die mit ihnen inzidierenden Punktmengen) entweder identisch oder disjunkt sind:

 .

Ein Parallelismus eines Blockplans, bei dem zwei beliebige, nicht parallele Blöcke stets dieselbe Anzahl von Punkten gemeinsam haben, heißt affin und der zugehörige Blockplan wird als affiner Blockplan bezeichnet. Während im Allgemeinen ein Blockplan mehrere Parallelismen zulassen kann, ist in einem affinen Blockplan der Parallelismus eindeutig bestimmt und es gilt auch die Umkehrung der obigen Beziehung:

 .

Für Blockpläne mit Parallelismen gilt der Satz von Bose, der für diesen Fall eine Verschärfung der Fisher-Ungleichung darstellt.

BeispieleBearbeiten

Die Wittschen Blockpläne (im engeren Sinn) sind einfache 5-Blockpläne, ihre Ableitungen, die oft auch als Wittsche Blockpläne bezeichnet werden, liefern Beispiele für nichttriviale einfache 4- und 3-Blockpläne.

Affine Geometrien als BlockpläneBearbeiten

Der affine Raum der Dimension   über dem endlichen Körper mit   Elementen   wird als   notiert.[12] Er wird zu einem Blockplan  , indem man die Punktmenge des affinen Raumes als Menge der Punkte und die  -dimensionalen affinen Teilräume   als Blöcke verwendet. Genauer handelt es sich bei   um einen  -Blockplan. Der gewöhnliche Parallelismus der affinen Geometrie ist ein Parallelismus für den Blockplan und der Blockplan wird damit genau dann zu einem affinen Blockplan, wenn   gilt, also die Blöcke Hyperebenen des Raumes sind. Die Parameter des Blockplanes   lauten:

 .

Hier steht   für den Gaußschen Binomialkoeffizienten,[12] der durch die Formel

 

für   berechnet werden kann. Die Räume   sind für   sogar 3-Blockpläne mit  . Speziell ist   mit seinem geometrischen Parallelismus ein affiner  -Blockplan.

Projektive Geometrien als BlockpläneBearbeiten

Der projektive Raum der Dimension   über dem endlichen Körper   wird als   notiert.[12][13] Der Blockplan   hat als Punktmenge die Menge der projektiven Punkte und als Blockmenge die Menge der  -dimensionalen projektiven Teilräume   des  . Dies ist ein  -Blockplan mit den Parametern

 .

Im Falle   also falls die Blöcke die Hyperebenen des Raumes sind, ist der Blockplan symmetrisch.

Anschauliche BeispieleBearbeiten

Als Spezialfälle der obengenannten klassischen geometrischen Räume kann man eine endliche projektive Ebene der Ordnung   als einen  -Blockplan und eine endliche affine Ebene der Ordnung   als einen  -Blockplan auffassen. Hierbei entsprechen die Punkte der Ebene den Punkten des Blockplans und die Geraden der Ebene den Blöcken des Blockplans. Allerdings wird die Existenz der entsprechenden Ebene der Ordnung   vorausgesetzt und diese ist nicht für alle   gegeben.

Kleine Ebenen, siehe auch die Abbildungen am Ende des Abschnitts:

  • Die projektive Ebene der Ordnung 2,   (die Fano-Ebene) ist ein symmetrischer  -Blockplan zugleich ist sie „der“ kleinste Hadamard-Blockplan.
  • Die affinen Ebenen der Ordnung 2 und 3   und   bilden mit ihrer gewöhnlichen und einzig möglichen Parallelität einen affinen  -Blockplan bzw.  -Blockplan.
     

 

 

 

7 Pkte, 7 Blöcke mit je 3 Pkten 4 Pkte, 6 Blöcke mit je 2 Pkten 9 Pkte, 12 Blöcke mit je 3 Pkten

Weitere (Gegen)beispiele einfacher BlockpläneBearbeiten

Nicht existierende einfache 2-BlockpläneBearbeiten

Für die in der folgenden Liste erscheinenden Parametertripel   (im Bereich  ) existieren keine einfachen  -Blockpläne, obwohl die üblichen Parameterbedingungen erfüllt sind:[14]

 
 
 [15]
 
 [16]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Existierende einfache t-Blockpläne mit t ≥ 4Bearbeiten

Konkrete Beispiele für einfache  -Blockpläne mit   waren lange nur vereinzelt bekannt.

So etwa:[17][18]

  und  
  und  
  und  
  und  
  und  
  und  

Bis in die 1980er Jahre war sogar unklar, ob (etwa) einfache  -Blockpläne überhaupt vorkommen. Dann wurden nach und nach mehrere Beispiele gefunden:[17][19]

  und  
  und  
  und  
  und  
  und  

In den letzten Jahren ist mit Hilfe weiter verfeinerter gruppentheoretischer, geometrischer und computergestützter Methoden schließlich sogar eine Anzahl einfacher Blockpläne mit   gefunden worden; u. a. :[20]

  und  
  und  

Anwendung in der statistischen VersuchsplanungBearbeiten

Angenommen, Hautkrebsforscher möchten drei verschiedene Sonnencremes testen. Dafür tragen sie bei jedem Probanden zwei verschiedene Sonnencremes auf die Oberseiten der Hände auf. Nach einer Bestrahlung durch UV-Licht notieren sie die aufgetretenen Hautirritationen in Form von Sonnenbrand. Die Anzahl der Behandlungen ist 3 (Sonnencremes) und die Blockgröße ist 2 (Hände je Person).

Ein dazu passender balancierter unvollständiger Versuchsplan kann in R erzeugt werden mit der Funktion design.bib aus dem R-Paket agricolae[21] und wird in der folgenden Tabelle dargestellt:

Plots Block Treatment
101 1 3
102 1 1
201 2 1
202 2 2
301 3 3
302 3 2
401 4 3
402 4 1
501 5 2
502 5 3
601 6 1
602 6 2

Die Forscher wählen die Parameter   und   für den Blockplan, welche anschließend in die R-Funktion eingegeben werden. Dann werden die verbliebenen Parameter   und   automatisch ermittelt.

Mit den Bezeichnungen   bis   für die Blöcke erhält man die folgende Inzidenzmatrix:

Behandlung Block A Block B Block C Block D Block E Block F
1 1 1 0 1 0 1
2 0 1 1 0 1 1
3 1 0 1 1 1 0

Jede Behandlung kommt in vier Blöcken vor, also ist  .

Zwei Blöcke (  und  ) enthalten gleichzeitig die Behandlungen   und   und entsprechendes gilt auch für die Behandlungspaare   und  . Demnach ist  .

Es ist in diesem Beispiel unmöglich einen vollständigen Versuchsplan zu erhalten (alle Behandlungen in jedem Block), weil drei Sonnencremes getestet werden, aber nur zwei Hände je Person zur Verfügung stehen.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. Beutelspacher (1982)
  2. Die in Klammern angegebenen zusätzlichen Parameternamen sind die allgemein für die Parameter einer endlichen Inzidenzstruktur üblichen.
  3. Beth, Jungnickel, Lenz (1986, 1999), Definition I.3.1
  4. Beth, Jungnickel, Lenz (1986, 1999), Corollary I.8.6
  5. Peter Keevash: The existence of designs. arXive. 2014.
  6. A Design Dilemma Solved, Minus Designs. Quanta Magazine. 9. Juni 2015. Abgerufen am 27. Juni 2015.
  7. Gil Kalai: Designs exist!. Séminaire BOURBAKI.
  8. Timothy Gowers: PROBABILISTIC COMBINATORICS AND THE RECENT WORK OF PETER KEEVASH. BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, Band 54, Nr. 1, Januar 2017, S. 107–116, http://dx.doi.org/10.1090/bull/1553
  9. Beutelspacher 1.4.4.
  10. Kenneth H. Rosen (Hrsg.): Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. CRC Press, 2000, ISBN 0-8493-0149-1, S. 771.
  11. Tosiro Tsuzuku: Finite Groups and Finite Geometries (= Cambridge Tracts in Mathematics. Band 78). Cambridge University Press, Cambridge (u. a.) 1982, ISBN 0-521-22242-7, S. 62.
  12. a b c Beth, Jungnickel, Lenz (1986, 1999), I.Examples and basic definitions
  13. Bei symmetrischen Blockplänen verweist der Parameter   in der Regel auf die Blockplanordnung  . Die hier genannte Dimensionszahl   ist mit der Blockplanordnung im Allgemeinen nicht identisch.
  14. Rosen et al.: Handbook ... S. 764,773.
  15. Also existiert auch nicht die projektive Ebene der Ordnung 6.
  16. Also existiert auch nicht die projektive Ebene der Ordnung 10.
  17. a b Kenneth H. Rosen (Hrsg.): Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. CRC Press, 2000, ISBN 0-8493-0149-1, S. 767.
  18. Daniel R. Hughes, Fred C. Piper: Design Theory. Cambridge University Press, Cambridge (u. a.) 1985, ISBN 0-521-25754-9, S. 144 ff.
  19. Daniel R. Hughes, Fred C. Piper: Design Theory. Cambridge University Press, Cambridge (u. a.) 1985, ISBN 0-521-25754-9, S. 148, 152.
  20. Siehe Weblink zu den Publikationen der Universität Bayreuth.
  21. Felipe de Mendiburu: agricolae: Statistical Procedures for Agricultural Research. 12. Juni 2016, abgerufen am 19. Februar 2017.