Die Einsmatrix ist in der Mathematik eine Matrix, deren Elemente alle gleich der Zahl Eins (beziehungsweise dem Einselement des zugrunde liegenden Rings) sind. Eine Einsmatrix, die nur aus einer Zeile oder Spalte besteht, wird auch Einsvektor genannt. Jede Einsmatrix lässt sich als dyadisches Produkt von Einsvektoren darstellen. Im Matrizenring mit der Matrizenaddition und dem Hadamard-Produkt ist die Einsmatrix das neutrale Element. Wichtige Kennzahlen und Potenzen von Einsmatrizen lassen sich explizit berechnen. Die Einsmatrix und der Einsvektor dürfen nicht mit der Einheitsmatrix und dem Einheitsvektor verwechselt werden.

DefinitionBearbeiten

Ist   ein Ring mit Einselement  , dann ist die Einsmatrix   definiert als

 .

Eine Einsmatrix bestehend aus nur einer Zeile oder Spalte wird auch Einsvektor genannt und mit   bezeichnet.[1] Wird die Dimension der Einsmatrix aus dem Kontext klar und bestehen keine Verwechslungsmöglichkeiten, so werden die Indizes auch weggelassen und nur   geschrieben. In Anlehnung an Einheitsmatrizen, die häufig mit   bezeichnet werden, werden Einsmatrizen auch durch   notiert.

BeispieleBearbeiten

Ist   der Körper der reellen Zahlen und bezeichnet   die Zahl Eins, so sind Beispiele für Einsvektoren und -matrizen:

 

Sei   der Nullring, dann sind auch folgende Matrizen Beispiele für Einsmatrizen:

 

Hinweis: Im Nullring fallen die Begriffe Nullmatrix und Einsmatrix zusammen. Tatsächlich ist sogar jede Matrix über dem Nullring eine Einsmatrix (und eine Nullmatrix).

EigenschaftenBearbeiten

Algebraische EigenschaftenBearbeiten

Eine Einsmatrix lässt sich auch als dyadisches Produkt von Einsvektoren darstellen:

 .

Die Transponierte einer Einsmatrix ist wieder eine Einsmatrix, also

 .

Die Einsmatrix   ist zudem das neutrale Element in dem Matrizenring  , wobei   die Matrizenaddition und   das Hadamard-Produkt sind. Damit gilt für alle Matrizen  

 .

Rang, Determinante, SpurBearbeiten

Ist nun   ein Körper, dann gilt für den Rang einer Einsmatrix

 .

Die Determinante einer quadratischen Einsmatrix ist dann

 

Die Spur einer quadratischen Einsmatrix über den reellen oder komplexen Zahlen ist

 .

EigenwerteBearbeiten

Das charakteristische Polynom einer reellen oder komplexen Einsmatrix   ergibt sich als

 .

Die Eigenwerte sind entsprechend

    und    .

Zugehörige Eigenvektoren sind

    und    .

ProdukteBearbeiten

Für das Produkt zweier reeller oder komplexer Einsmatrizen passender Größe gilt

 .

Damit berechnet sich die  -te Potenz einer quadratischen Einsmatrix für   als

 .

Daher ist die Matrix   idempotent, das heißt

 .

Für das Matrixexponential der Einsmatrix gilt

 ,

wobei   die Einheitsmatrix der Größe   und   die Eulersche Zahl sind.

ProgrammierungBearbeiten

In dem numerischen Softwarepaket MATLAB wird die Einsmatrix durch die Funktion ones(m,n) erzeugt.[2]

LiteraturBearbeiten

  • Karsten Schmidt, Götz Trenkler: Einführung in die Moderne Matrix-Algebra. Springer, 2006, ISBN 3-540-33008-9.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Schmidt, Trenkler: Einführung in die Moderne Matrix-Algebra. S. 27–28.
  2. Christoph W. Überhuber, Stefan Katzenbeisser, Dirk Praetorius: MATLAB 7: Eine Einführung. Springer, 2007, S. 18.

WeblinksBearbeiten