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Endlicher Körper

Menge mit einer endlichen Anzahl von Elementen

In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein endlicher Körper oder Galoiskörper (nach Évariste Galois) ein Körper mit einer endlichen Anzahl von Elementen, d. h. eine endliche Menge, auf der zwei als Addition und Multiplikation verstandene Grundoperationen definiert sind, sodass die Menge zusammen mit diesen Operationen alle Anforderungen eines Körpers erfüllt.

Endliche Körper spielen eine wichtige Rolle in der Kryptographie und der Codierungstheorie (Vorwärtsfehlerkorrektur, zum Beispiel beim Reed-Solomon-Code). Daneben sind sie grundlegend für das Studium der Primideale im Ring der ganzen Zahlen einer endlichen Körpererweiterung von im Rahmen der algebraischen Zahlentheorie. Man vergleiche hierzu auch Verzweigung im Kontext von Erweiterungen von Dedekindringen.

Außerdem sind endliche Körper in der Geometrie als Koordinatenbereiche endlicher Geometrien von Bedeutung. Sie sind allgemeiner Koordinatenbereiche von Ebenen und Räumen in der synthetischen Geometrie. Mit Hilfe der Addition und Multiplikation in einem endlichen Körper werden hier Verknüpfungen mit schwächeren algebraischen Eigenschaften definiert, die aus dem Körper z. B. einen Ternär- oder Quasikörper machen. Auf diesen verallgemeinerten Körpern können dann projektive und affine Ebenen konstruiert werden.

Die Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers ist immer eine Primzahlpotenz. Für jede Primzahl und jede positive natürliche Zahl existiert (bis auf Isomorphie) genau ein Körper mit Elementen, der mit oder bezeichnet wird. ist der Körper der Restklassen ganzer Zahlen modulo .

E. H. Moore prägte wohl 1893 den englischen Begriff Galois field zu Ehren von Évariste Galois, der bereits mit gewissen imaginären Zahlen modulo gerechnet hat.

Der Satz von Wedderburn sagt aus, dass die Multiplikation in einem endlichen Schiefkörper notwendig kommutativ ist. Das heißt, dass endliche Schiefkörper stets endliche Körper sind.

Beispiel: Der Körper mit 2 ElementenBearbeiten

Die Restklassen modulo 2 bilden den Körper   mit zwei Elementen.   repräsentiere die Restklasse   der geraden Zahlen,   die Restklasse   der ungeraden Zahlen. Für die Addition gilt:

 

Für die Multiplikation gilt:

  und  

Klassifikation endlicher KörperBearbeiten

Ist   ein endlicher Körper, so ist der Kern des Ringhomomorphismus  ,   stets von der Form   mit einer gewissen Primzahl  , d. h., er besteht aus allen Vielfachen von  . Dabei beachte man, dass 1 keine Primzahl ist. Diese Primzahl   heißt die Charakteristik von  . Das Bild von   ist nach dem Homomorphiesatz für Ringe isomorph zum Restklassenkörper   und heißt der Primkörper von  . Als endlicher Erweiterungskörper ist   zugleich ein  -dimensionaler Vektorraum über seinem Primkörper. Somit hat   genau   Elemente.

In einem Körper   mit Charakteristik   ist   wegen

 

ein Homomorphismus additiver Gruppen.

Die übrigen nach der binomischen Formel auf der rechten Seite auftretenden Summanden fallen wegen   für   fort.   trägt zu Ehren Ferdinand Georg Frobenius’ den Namen Frobeniushomomorphismus. Der Primkörper wird durch   punktweise fixiert (in der Tat ist z. B.   ein Vielfaches von 7). Ebenso ist   auf jedem Körper mit   Elementen. Andererseits besitzt   als Polynom vom Grad   höchstens   verschiedene Nullstellen. Diese sind alle durch die Elemente von   erfasst.

Hieraus lässt sich folgern:

  • Für jede Primzahl   und jede natürliche Zahl   gibt bis auf Isomorphie genau einen Körper   mit   Elementen.
  • Dieser stellt eine Galois-Erweiterung seines Primkörpers dar.
  • Die Galoisgruppe ist zyklisch von Ordnung   und wird von   erzeugt.

Weitere Eigenschaften endlicher Körper:

  • Alle Elemente außer 0 der additiven Gruppe eines endlichen Körpers der Charakteristik   haben Ordnung  
  • Wie bei jeder endlichen separablen Körpererweiterung gibt es stets ein primitives Element, also ein   derart, dass der Erweiterungskörper durch Adjunktion nur dieses einen Elements entsteht. Ist   das Minimalpolynom von  , so hat   den Grad   und es gilt  . Ferner ist   stets bereits der Zerfällungskörper von  , d. h.,   zerfällt über   bereits vollständig in Linearfaktoren.
  • Ist   ein Teiler von  , so ist   eine Galois-Erweiterung vom Grad  . Die zugehörige Galois-Gruppe ist ebenfalls zyklisch und wird von der  -ten Potenz   des Frobenius-Homomorphismus erzeugt.

Multiplikative Gruppe und diskreter LogarithmusBearbeiten

Die multiplikative Gruppe   des endlichen Körpers   besteht aus allen Elementen des Körpers mit Ausnahme der Null. Die Gruppenoperation ist die Multiplikation des Körpers.

Die multiplikative Gruppe ist eine zyklische Gruppe mit   Elementen. Da deshalb für alle Elemente   dieser Gruppe   gilt, ist jedes Element eine  -te Einheitswurzel des Körpers. Diejenigen Einheitswurzeln, die Erzeuger der multiplikativen Gruppe sind, werden als primitive Einheitswurzeln oder Primitivwurzeln bezeichnet. Es sind dies die   verschiedenen Nullstellen des  -ten Kreisteilungspolynoms. (  bezeichnet die eulersche φ-Funktion.)

Ist   eine Primitivwurzel der multiplikativen Gruppe  , dann lässt sich die multiplikative Gruppe als Menge   darstellen. Ein solches   wird daher auch als Erzeuger oder Generator bezeichnet. Für jedes Element   gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl   mit  . Diese Zahl   heißt diskreter Logarithmus von   zur Basis  . Obwohl sich   für jedes   problemlos berechnen lässt, ist die Aufgabe, zu gegebenem   den diskreten Logarithmus   zu finden, nach gegenwärtigem Wissensstand für große Zahlen   ein extrem rechenaufwändiger Vorgang. Deshalb findet der diskrete Logarithmus Anwendung in der Kryptographie, etwa beim Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch.

Weitere BeispieleBearbeiten

Der Körper   kann mit Hilfe des Primkörpers   konstruiert werden: Da   ein Hauptidealring ist, erzeugt jedes irreduzible Element ein maximales Ideal. Für ein irreduzibles Polynom   vom Grad   ist der Faktorring   damit ein Körper mit   Elementen.

Der Körper mit 4 ElementenBearbeiten

Für den Fall   wird ein irreduzibles Polynom 2-ten Grades über   gesucht. Es existiert nur ein einziges, nämlich  . Die Elemente des Körpers   sind die Restklassen des Faktorrings  . Als Repräsentanten können die Polynome vom Grad kleiner 2, also  ,  ,   und  , gewählt werden. Zur einfacheren Notation werden die Körperelemente mit ihren Repräsentanten identifiziert. Beispielsweise berechnet sich das Produkt von   dann als

 .

Die vollständigen Verknüpfungstafeln für Addition und Multiplikation in   lauten

  0 1 X X+1
0 0 1 X X+1
1 1 0 X+1 X
X X X+1 0 1
X+1 X+1 X 1 0
  0 1 X X+1
0 0 0 0 0
1 0 1 X X+1
X 0 X X+1 1
X+1 0 X+1 1 X

Der Körper mit 49 ElementenBearbeiten

Im Primkörper   ist –1 kein Quadrat. Dies folgt aus dem 1. Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz von Carl Friedrich Gauß oder – bei einer derart kleinen Primzahl – durch explizites Quadrieren aller sechs Elemente der multiplikativen Gruppe. So wie die komplexen Zahlen   aus den reellen Zahlen durch Adjunktion einer Zahl   mit   entstehen, lässt sich auch   aus   durch Adjunktion einer „Zahl“   mit   gewinnen; formal korrekt als   Gleichzeitig ist   auch ein Faktorring des Rings der ganzen Gaußschen Zahlen.

Der Körper mit 25 ElementenBearbeiten

In Charakteristik 5 ist −1 stets ein Quadrat:  . Keine Quadrate modulo 5 sind jedoch die Zahlen 2 und 3. (In Charakteristik   mit   sind stets genau die Hälfte der Elemente der multiplikativen Gruppe   Quadrate bzw. Nichtquadrate.) Man kann also den Körper mit 25 Elementen als  , also durch Adjunktion von   erhalten.

Zur historischen EntwicklungBearbeiten

Dass man mit Zahlen modulo einer Primzahl „wie mit rationalen Zahlen“ rechnen kann, hatte bereits Gauß gezeigt.[1] Galois führte in die Rechnung modulo   imaginäre Zahlgrößen ein, ganz so wie die imaginäre Einheit   in den komplexen Zahlen. Damit hat er wohl als erster Körpererweiterungen von   betrachtet – wenn auch der abstrakte Körperbegriff erst 1895 durch Heinrich Weber eingeführt wurde und Frobenius als Erster diesen 1896 auf endliche Strukturen ausdehnte. Daneben bzw. zuvor hat offenbar Eliakim Hastings Moore 1893 bereits endliche Körper studiert und den Namen Galois field eingeführt.[2]

LiteraturBearbeiten

  • Dieter Jungnickel: Finite fields: Structure and arithmetics. B.I. Wissenschaftsverlag, 1993, ISBN 3-411-16111-6.
  • Hans Kurzweil: Endliche Körper. Verstehen, Rechnen, Anwenden. Springer, ISBN 978-3-540-795971.

Zur historischen Entwicklung:

Fußnoten und EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Zur historischen Entwicklung vgl. man Wußing, S. 354 ff.
  2. Vgl. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (F). Abgerufen am 12. September 2009.