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Die Charakteristik ist in der Algebra eine Kennzahl eines Ringes oder Körpers. Sie gibt die kleinste Anzahl der benötigten Schritte an, in denen man das multiplikative neutrale Element (1) eines Körpers oder Rings addieren muss, um das additive neutrale Element (0) zu erhalten. Ist dies nicht möglich, so ist die Charakteristik 0. Davon zu unterscheiden ist der mathematische Begriff Charakter.

DefinitionBearbeiten

Die Charakteristik eines unitären Ringes   ist die kleinste natürliche Zahl  , für die in der Arithmetik des Ringes die  -fache Summe des Einselementes   gleich dem Nullelement wird, also

 ,

falls eine solche Zahl existiert. Anderenfalls, also wenn jede endliche Summe von Einsen ungleich null ist, wird die Charakteristik des Ringes als   definiert.

Eine übliche Abkürzung der Charakteristik von   ist  .

Alternative Definitionsmöglichkeiten sind:

  • Die Charakteristik des unitären Rings   ist der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kerns des kanonischen unitären Ringhomomorphismus
 .
  • Die Charakteristik des unitären Rings   ist die eindeutig bestimmte nichtnegative ganze Zahl  , für die   einen unitären Teilring enthält, der isomorph zum Restklassenring   ist. (Beachte, dass   ist.)

BemerkungBearbeiten

Obige Definitionen erklären insbesondere auch die Charakteristik von Körpern, denn jeder Körper ist ein unitärer Ring.

EigenschaftenBearbeiten

Bei RingenBearbeiten

Jeder unitäre Teilring   eines unitären Rings   hat dieselbe Charakteristik wie  .

Gibt es einen Ringhomomorphismus   zwischen zwei unitären Ringen   und  , so ist die Charakteristik von   ein Teiler der Charakteristik von  .

Für jeden Integritätsring (und insbesondere jeden Körper) ist die Charakteristik entweder 0 oder eine Primzahl. Im letzteren Fall spricht man auch von positiver Charakteristik.

Ist   ein kommutativer unitärer Ring mit Primzahlcharakteristik  , dann gilt   für alle  . Die Abbildung   ist dann ein Ringhomomorphismus und wird Frobeniushomomorphismus genannt.

Ein kommutativer Ring mit der Charakteristik 0 wird ein Ring gemischter Charakteristik genannt, wenn es ein Ideal   des Rings gibt so dass   positive Charakteristik hat.[1] Ein Beispiel ist der Ring der ganzen Zahlen   mit Charakteristik Null, bei dem   für jede Primzahl   ein endlicher Körper mit Charakteristik   ist.

BeispielBearbeiten

Der Restklassenring   hat die Charakteristik  .

Bei KörpernBearbeiten

Jeder geordnete Körper hat die Charakteristik 0; Beispiele sind die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen. Jeder Körper der Charakteristik 0 ist unendlich; er enthält nämlich einen Primkörper, der isomorph zum Körper der rationalen Zahlen ist.

BeispieleBearbeiten

Da der Körper der komplexen Zahlen die rationalen Zahlen enthält, ist auch seine Charakteristik 0.

Für ein irreduzibles Polynom   vom Grad   über dem Restklassenkörper   ist der Faktorring   ein Körper (der isomorph ist zum endlichen Körper  ), der   enthält und demnach die Charakteristik   hat. Die Mächtigkeit eines endlichen Körpers der Charakteristik   ist eine Potenz von  . Denn in diesem Fall enthält er den Teilkörper   und ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über diesem Teilkörper. Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass die Ordnung des Vektorraums dann eine Potenz von   ist.

Es gibt unendliche Körper mit Primzahlcharakteristik; Beispiele sind der Körper der rationalen Funktionen über   oder der algebraische Abschluss von  .

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten