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In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring oder Quotientenring oder Restklassenring. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Ist   ein Ring und   ein (beidseitiges) Ideal von  , dann bildet die Menge   der Äquivalenzklassen modulo   mit folgenden Verknüpfungen einen Ring:

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Diesen Ring nennt man den Faktorring   modulo   oder Restklassenring oder Quotientenring. (Er hat jedoch nichts mit den Begriffen Quotientenkörper bzw. Totalquotientenring zu tun; diese sind Lokalisierungen.)

BeispieleBearbeiten

  • Die Menge   aller ganzzahligen Vielfachen von   ist ein Ideal in  , und der Faktorring   ist der Restklassenring modulo  .
  • Ist   ein Polynom über einem kommutativen unitärem Ring  , dann ist die Menge   aller Polynom-Vielfachen von   ein Ideal im Polynomring  , und   ist der Faktorring   modulo  .
  • Betrachten wir das Polynom   über dem Körper   der reellen Zahlen, so ist der Faktorring   isomorph zum Körper der komplexen Zahlen; die Äquivalenzklasse von   entspricht dabei der imaginären Einheit  .
Rechenbeispiele:
Das Polynom   liegt wegen   in derselben Äquivalenzklasse modulo   wie  .
Für das Produkt   ermitteln wir  

EigenschaftenBearbeiten

  • Ist   ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal   genau dann ein Primideal, wenn   ein Integritätsring ist.
  • Ist   ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal   genau dann ein maximales Ideal, wenn   ein Körper ist.
  • Ist   ein Körper und   ein irreduzibles Polynom über  , dann ist   ein maximales Ideal in   und deshalb ist   ein Körper. Dieser Körper ist ein Oberkörper von  , in dem   eine Nullstelle hat (die Restklasse von  ). Die Körpererweiterung   ist endlich und algebraisch, ihr Grad stimmt mit dem Grad von   überein. Wiederholt man das Verfahren mit den über   nicht-linearen irreduziblen Teilern von  , so erhält man schließlich einen Körper, in dem   in Linearfaktoren zerfällt: Den Zerfällungskörper von  .

IdealtheorieBearbeiten

Sei   ein kommutativer Ring mit Einselement und   ein Ideal. Dann sind

  • die Ideale des Rings   genau die Ideale   von  , die   enthalten (also   )
  • die Primideale des Rings   genau die Primideale von  , die   enthalten
  • die Maximalideale des Rings   genau die Maximalideale von  , die   enthalten

BemerkungBearbeiten

Der Begriff ist zu unterscheiden vom faktoriellen Ring, in dem die eindeutige Primfaktorzerlegung existiert.

LiteraturBearbeiten

  • Kurt Meyberg, Algebra I, Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Kapitel 3: "Ringe"