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Restklassenkörper spielen in verschiedenen Bereichen der Algebra und Zahlentheorie eine wichtige Rolle. In ihrer einfachsten Form sind sie die mathematische Abstraktion des Restes bei der Division durch eine Primzahl, in der algebraischen Geometrie treten sie auf, wenn die lokale Struktur eines geometrischen Objektes in einem Punkt beschrieben wird.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Ring mit einem maximalen Ideal  . Dann heißt der Faktorring  , der als Faktorring eines maximalen Ideals ein Körper ist, der Restklassenkörper von   bezüglich  .

BeispieleBearbeiten

Restklassenkörper modulo einer PrimzahlBearbeiten

Sei   der Ring der ganzen Zahlen. Da   ein Hauptidealring ist, sind maximale Ideale von   gerade die von Primelementen erzeugten Ideale. Ist also   eine Primzahl, so ist der Restklassenring   ein Körper, genauer ein endlicher Körper mit   Elementen. Er wird Restklassenkörper modulo   genannt und üblicherweise mit   bezeichnet. Man beachte jedoch, dass es auch endliche Körper  ,  gibt, die mit den jeweiligen Restklassenringen nichts zu tun haben.

Für weitere Details zu endlichen Körpern siehe endlicher Körper.

Restklassenkörper lokaler RingeBearbeiten

Sei   ein lokaler Ring, also ein Ring, in dem es nur ein maximales Ideal   gibt. Dann gibt es zu   nur einen Restklassenkörper nämlich   und wir sprechen von dem Restklassenkörper von  .

Restklassenkörper diskreter BewertungsringeBearbeiten

Sei   der Bewertungsring eines diskret bewerteter Körpers  . Dann ist   ein lokaler Hauptidealring, sodass das maximale Ideal von   von einem Element   erzeugt wird. Ein solches Element nennt man ein uniformisierendem Element und man bezeichnet   in diesem Fall auch als Restklassenkörper von  .

Restklassenkörper von Punkten auf SchemataBearbeiten

Sei   ein Schema mit einem Punkt  . Dann wird der Restklassenkörper des lokalen Ringes   der Restklassenkörper von   in   genannt und wird üblicherweise mit   bezeichnet.

Ist   ein Schema über einem Körper  , so sind alle Restklassenkörper von   Körpererweiterungen von  . Ist   lokal endlichen Typs und   ein abgeschlossener Punkt, so ist   eine endliche Erweiterung von  . Dies ist im Wesentlichen die Aussage des hilbertschen Nullstellensatzes.