Maximales Ideal

Maximales Ideal ist ein Begriff aus der Algebra.

DefinitionBearbeiten

Es sei   ein Ring. Dann heißt ein Ideal   maximal, wenn   ein maximales Element ist in der durch die (mengentheoretische) Inklusion   halbgeordneten Menge aller echten Ideale. D. h., für jedes echte Ideal   gilt:

Aus   folgt  

Mit anderen Worten:

Ein echtes Ideal   wird maximal genannt, wenn es kein anderes echtes Ideal von   gibt, das   ganz enthält.[1]

BemerkungenBearbeiten

  • Entsprechendes gilt jeweils für Links- bzw. Rechtsideale.
  • Mit Hilfe des Zornschen Lemmas kann man zeigen, dass jedes echte Ideal in einem Ring mit Einselement 1 in einem maximalen Ideal enthalten ist.
  • Daraus folgt wiederum, dass jedes Element eines kommutativen Ringes mit 1, das keine Einheit ist, in einem maximalen Ideal enthalten sein muss. In nichtkommutativen Ringen ist das i. A. falsch, wie das Beispiel der Matrizenringe über (Schief)Körpern zeigt.
  • Sei   ein Ideal des kommutativen Ringes   mit 1. Der Faktorring   ist genau dann ein Körper, wenn   maximal ist.[2] Insbesondere heißt dies: Das Bild eines Ringhomomorphismus ist genau dann ein Körper, wenn dessen Kern maximal ist.
  • Ringe können mehrere maximale Ideale enthalten. Ein Ring, der nur ein einziges maximales Links- oder Rechtsideal besitzt, wird als lokaler Ring bezeichnet. Dies ist dann ein zweiseitiges Ideal, und der Faktorring   wird als der Restklassenkörper des Rings   bezeichnet.
  • Ein maximales (zweiseitiges) Ideal   eines Ringes   ist genau dann prim, wenn  . Insbesondere ist   prim, falls   ein Einselement enthält.

BeispieleBearbeiten

 
Mit anderen Worten: diejenige Abbildung die jede Funktion an der Stelle 0 auswertet. Das Bild von   ist  , also ein Körper. Somit ist der Kern, also die Menge aller Funktionen mit  , ein maximales Ideal.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 40.
  2. Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 41.