Ringhomomorphismus

In der Ringtheorie betrachtet man spezielle Abbildungen zwischen Ringen, die man Ringhomomorphismen nennt. Ein Ringhomomorphismus ist eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Ringen, und damit ein spezieller Homomorphismus.

DefinitionBearbeiten

Gegeben seien zwei Ringe   und  . Eine Funktion   heißt Ringhomomorphismus, wenn für alle Elemente   von   gilt:

  und  [1]

Die Gleichung besagt, dass der Homomorphismus strukturerhaltend ist: Es ist egal, ob man erst zwei Elemente verknüpft, und das Ergebnis abbildet, oder erst die zwei Elemente abbildet, und dann die Bilder verknüpft.

ErklärungBearbeiten

Anders ausgedrückt, ist ein Ringhomomorphismus eine Abbildung zwischen zwei Ringen, die sowohl Gruppenhomomorphismus bezüglich der additiven Gruppen der beiden Ringe, als auch Halbgruppenhomomorphismus bezüglich der multiplikativen Halbgruppen der beiden Ringe ist.

Für einen „Homomorphismus von Ringen mit Eins“ wird meist zusätzlich   gefordert. Beispielsweise ist die Nullabbildung von   nach   zwar ein Ringhomomorphismus, aber kein Homomorphismus von Ringen mit Eins, da die besondere Struktur der Eins durch die Abbildung verloren geht: Die Eins wird (wie alle anderen Elemente) zur Null.

Für einen Ringhomomorphismus   sind die beiden Mengen

  und
 

definiert; aus dem Englischen und Lateinischen schreibt man auch statt Kern ker und statt Bild img, im oder schlicht I (großes i).   ist ein Unterring von  ,   ist ein Ideal in  . Ein Ringhomomorphismus ist genau dann injektiv (also ein Ringmonomorphismus), wenn   gilt.

BeispieleBearbeiten

Folgende Abbildungen sind Ringhomomorphismen:

  • Die Nullabbildung  
  • Die Inklusionsabbildung   für festes  
  • Die komplexe Konjugation  
  • Die Konjugation   für eine feste Einheit  
  •   bzw.  
    Es handelt sich hier um die Restklassen modulo n, deren Verknüpfungen mit jenen aus   verträglich sind.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14. durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0, (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik), S. 145

LiteraturBearbeiten

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14. durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0, (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).