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Injektive Funktion

Eigenschaft einer mathematischen Funktion bzw. Relation
(Weitergeleitet von Injektivität)
Illustration einer Injektion.
Jedes Element von Y hat höchstens ein Urbild: A, B, D je eines, C keines.

Injektivität oder Linkseindeutigkeit ist eine Eigenschaft einer mathematischen Relation, also insbesondere auch einer Funktion (wofür man meist gleichwertig auch „Abbildung“ sagt): Eine injektive Funktion, auch als Injektion bezeichnet, ist ein Spezialfall einer linkseindeutigen Relation, namentlich der, bei dem die Relation auch rechtseindeutig und linkstotal ist.

Eine Funktion ist injektiv, wenn es zu jedem Element der Zielmenge höchstens ein (also eventuell gar kein) Element der Ausgangs- oder Definitionsmenge gibt, das darauf zielt, wenn also nie zwei verschiedene Elemente der Definitionsmenge auf dasselbe Element der Zielmenge abgebildet werden:

Die Zielmenge kann daher nicht weniger mächtig als die Definitionsmenge sein, d. h., sie kann nicht weniger Elemente enthalten.

Die Bildmenge darf eine echte Teilmenge der Zielmenge sein, d. h., es kann Elemente geben, die keine Bildelemente sind, wie es in der abgebildeten Grafik rechts der Fall ist. Dies macht den Unterschied zu einer bijektiven Abbildung aus, von der außer Injektivität noch verlangt wird, dass jedes Element der Zielmenge als Bildelement auftritt, dass also surjektiv ist.

Dass eine Abbildung injektiv ist, wird gelegentlich durch ausgedrückt, mit einem aus und zusammensetzten Zeichen. Es erinnert an die Einbettung einer Menge in eine Obermenge durch eine Funktion die jedes Element von auf sich selbst abbildet.

Beispiele und GegenbeispieleBearbeiten

 
Nichtinjektive Funktion
  • Außermathematisches Beispiel: Die Funktion, die jedem Bürger der Bundesrepublik Deutschland mit Personalausweis die Nummer seines aktuellen Personalausweises zuordnet, ist injektiv, wobei als Zielmenge die Menge aller möglichen Personalausweisnummern angenommen wird (denn Personalausweisnummern werden nur einmal vergeben).
  •   bezeichne die Menge der natürlichen und   die Menge der ganzen Zahlen.
  ist injektiv.
  ist injektiv.
  ist injektiv.
  ist nicht injektiv, da z. B.   gilt.
  • Jede Funktion   von einer zweielementigen Menge   in eine einelementige Menge   ist nicht injektiv, weil notwendigerweise beide Elemente von   auf das einzige Element   abgebildet werden:
  trotz  

EigenschaftenBearbeiten

  • Man beachte, dass die Injektivität einer Funktion   nur vom Funktionsgraphen   abhängt (im Gegensatz zur Surjektivität, die auch von der Zielmenge   abhängt, die man am Funktionsgraphen nicht ablesen kann).
  • Eine Funktion   ist genau dann injektiv, wenn für alle Teilmengen   gilt:  
  • Eine Funktion   ist genau dann injektiv, wenn   für alle   gilt (wobei   die Urbildfunktion bezeichnet).
  • Sind die Funktionen   und   injektiv, dann ist auch die Komposition (Verkettung)   injektiv.
  • Aus der Injektivität von   folgt, dass   injektiv ist.
  • Eine Funktion   mit nichtleerer Definitionsmenge   ist genau dann injektiv, wenn   eine Linksinverse hat, das ist eine Funktion   mit   (wobei   die identische Abbildung auf   bezeichnet).
  • Eine Funktion   ist genau dann injektiv, wenn sie linkskürzbar ist, wenn also für beliebige Funktionen   aus   die Gleichheit   folgt. (Diese Eigenschaft motiviert den in der Kategorientheorie verwendeten Begriff Monomorphismus, jedoch sind bei allgemeinen Morphismen injektiv und linkskürzbar nicht mehr äquivalent.)
  • Jede beliebige Funktion   ist als Verkettung   darstellbar, wobei   surjektiv und   injektiv (nämlich eine Inklusionsabbildung) ist.
  • Eine stetige reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall ist genau dann injektiv, wenn sie in ihrem ganzen Definitionsbereich streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist, d. h., wenn für zwei beliebige Zahlen   und   aus dem Definitionsbereich gilt: Aus   folgt   (steigend), bzw. aus   folgt   (fallend).
 
Drei injektive streng monoton steigende reelle Funktionen.
 
Drei injektive streng monoton fallende reelle Funktionen.

Mächtigkeiten von MengenBearbeiten

Eine wichtige Rolle spielt der Begriff der Injektion in der Mengenlehre bei Definition und Vergleich von Mächtigkeiten, einem Begriff, der die Elementeanzahl von endlichen Mengen auf beliebige Mengen verallgemeinert. Zwei Mengen   heißen „von gleicher Mächtigkeit“, wenn es sowohl eine Injektion von   nach   als auch eine solche von   nach   gibt. (In diesem Fall existieren auch Bijektionen von der einen auf die andere Menge.) Dagegen heißt   von kleinerer Mächtigkeit als  , wenn es zwar eine Injektion von   nach  , aber keine von   nach   gibt.

SchubfachschlussBearbeiten

Ein in Beweisen insbesondere der Zahlentheorie häufiges Schlussschema benutzt die Feststellung, dass eine Abbildung   einer endlichen Menge   in eine Menge   mit weniger Elementen nicht injektiv sein kann, dass es also Elemente   mit   und gleichem Bild   gibt. Wegen der Vorstellung von vielen Objekten in weniger Schubfächern heißt das „Schubfachschluss“.

Anzahl injektiver AbbildungenBearbeiten

Die Anzahl der injektiven Abbildungen von einer Definitionsmenge   in eine gegebene endliche Zielmenge   mit der Eigenschaft   ist gegeben durch:

 

Dies entspricht in der Kombinatorik einer Variation ohne Wiederholung.

GeschichteBearbeiten

Nachdem man generationenlang mit Formulierungen wie „eineindeutig“ ausgekommen war, kam erst in der Mitte des 20. Jahrhunderts mit der durchgehend mengentheoretischen Darstellung aller mathematischen Teilgebiete das Bedürfnis nach einer prägnanteren Bezeichnung auf.

Im Englischen lässt sich das Substantiv injection 1945 belegen.[1] Das englische Adjektiv injective wurde 1952 in den Foundations of algebraic topology von S. Eilenberg und N. Steenrod verwendet, allerdings eher im Sinne von injektiven Objekten.[2] Injektiv im Kontext mit den Fachwörtern surjektiv und bijektiv wurde 1954 von der Autorengruppe Nicolas Bourbaki in dem Buch Théorie des ensembles, Éléments de mathématique Première Partie eingeführt.[2]

Es herrscht stellenweise große Verwirrung bezüglich der Zuordnung zwischen den Begriffen „eineindeutig“ einerseits und „injektiv“ bzw. „bijektiv“ andererseits. Quellen (Lehrbücher) aus der reinen Mathematik favorisieren „injektiv“, fachfremde Quellen favorisieren teilweise eher „bijektiv“.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Ralph H. Fox: Torus homotopy groups. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. Band 31, Nr. 2, 1. Februar 1945, S. 71–74, siehe S. 73 (Online [PDF; abgerufen am 13. Januar 2017]): „The nucleus of the injection homomorphism …“
  2. a b Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.

WeblinksBearbeiten