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Konjugation (Gruppentheorie)

Gruppenoperation

Die Konjugationsoperation ist eine Gruppenoperation, die eine Gruppe in Konjugationsklassen zerlegt. Die Elemente einer Konjugationsklasse haben viele Gemeinsamkeiten, sodass eine nähere Betrachtung dieser Klassen wichtige Einblicke in die Struktur nicht-abelscher Gruppen ermöglicht. Bei abelschen Gruppen sind Konjugationsklassen nebensächlich, da jedes Gruppenelement eine eigene Konjugationsklasse bildet.

KonjugationsoperationBearbeiten

Die Konjugationsoperation ist eine Operation einer Gruppe auf sich selbst, die entweder als Linksoperation

 

oder als Rechtsoperation

 

definiert ist.

Für die Rechtsoperation   ist die exponentielle Schreibweise   üblich. In dieser Notation erfüllt die Konjugationsoperation die Beziehung  . Im Folgenden wird die Konjugationsoperation als Linksoperation definiert.

Zwei Elemente   und   einer Gruppe heißen zueinander konjugiert, wenn es ein Element   gibt, sodass   ist. Die Konjugiertheit ist eine Äquivalenzrelation. Sie besitzt also folgende Eigenschaften:

  • Jedes Element   ist konjugiert zu sich selbst (Reflexivität).
  • Ist   konjugiert zu  , so ist auch   konjugiert zu   (Symmetrie).
  • Ist   konjugiert zu   und   konjugiert zu  , dann ist auch   konjugiert zu   (Transitivität).

Alle Elemente, die zueinander konjugiert sind, bilden jeweils eine Äquivalenzklasse, die sogenannte Konjugationsklasse von  :

 

Dabei kann als   ein beliebiges Element der Konjugationsklasse gewählt werden. Die Konjugationsklassen sind die Bahnen der Konjugationsoperation.

Der Stabilisator

 

eines Elementes   ist der Zentralisator von  .

Zwei Untergruppen   und   einer Gruppe   heißen konjugiert zueinander, wenn es ein   gibt mit  .

Eine Untergruppe   einer Gruppe   ist invariant unter Konjugation, wenn für alle Elemente   aus   und alle Elemente   aus   das Produkt   wieder in   liegt:

 

Eine unter Konjugation invariante Untergruppe einer Gruppe wird als Normalteiler der Gruppe bezeichnet. Normalteiler erlauben die Bildung von Faktorgruppen der Gruppe.

KonjugationBearbeiten

Die Konjugation mit   ist die Abbildung

 .

Sie entsteht aus der Konjugationsoperation, indem   festgehalten wird. Die Konjugation ist ein Automorphismus von  . Automorphismen von  , die als Konjugation mit einem Element von   geschrieben werden können, werden als innere Automorphismen bezeichnet. Daher kommt auch die Bezeichnung  , bei der das „int“ für „interior“ steht.[1] Die inneren Automorphismen   bilden einen Normalteiler der Automorphismengruppe von  . Als Kern des Gruppenhomomorphismus

 

erhält man das Zentrum   von  . Nach dem Homomorphiesatz vermittelt die Abbildung   also einen Isomorphismus von   nach  .

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Siegfried Bosch: Algebra. Springer, 2004, ISBN 3-540-40388-4, S. 239