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Drei symmetrische Relationen, als gerichtete Graphen dargestellt

Die Symmetrie einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn aus x R y stets y R x folgt. Man nennt R dann symmetrisch.

Die Symmetrie ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation.

Zur Symmetrie gegensätzliche Begriffe sind Antisymmetrie und Asymmetrie.

Formale DefinitionBearbeiten

Ist   eine Menge und   eine zweistellige Relation auf  , dann heißt   symmetrisch, wenn (unter Verwendung der Infixnotation) gilt:

 

BeispieleBearbeiten

Gleichheit der reellen ZahlenBearbeiten

Die gewöhnliche Gleichheit   auf den reellen Zahlen ist symmetrisch, denn aus   folgt  . Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.

Die Ungleichheitsrelation   auf den reellen Zahlen ist zwar keine Äquivalenzrelation, aber ebenfalls symmetrisch, denn aus   folgt  .

Ähnlichkeit von DreieckenBearbeiten

Ist das Dreieck ABC zum Dreieck DEF ähnlich, so ist das Dreieck DEF zum Dreieck ABC ähnlich. Die Relation der Ähnlichkeit von Dreiecken ist also symmetrisch. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.

Kongruenz modulo mBearbeiten

Eine ganze Zahl a heißt zu der ganzen Zahl b kongruent modulo m (mit der ganzen Zahl m ≠ 0, Modul genannt), wenn sowohl a als auch b bei der Division durch m denselben Rest haben. Beispielsweise ist die Zahl 11 zur Zahl 18 kongruent modulo 7, da sich bei der Division dieser beiden Zahlen durch 7 jeweils der Rest 4 ergibt. Diese Relation ist symmetrisch. Sie ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.

Ordnung der reellen ZahlenBearbeiten

Die Kleiner-Relation   auf den reellen Zahlen ist nicht symmetrisch, denn   und   können nicht gleichzeitig gelten.

Darstellung als gerichteter GraphBearbeiten

Jede beliebige Relation R auf einer Menge M kann als gerichteter Graph aufgefasst werden (Beispiel siehe oben). Die Knoten des Graphen sind dabei die Elemente von M. Vom Knoten a zum Knoten b wird genau dann eine gerichtete Kante (ein Pfeil  ) gezogen, wenn a R b gilt.

Die Symmetrie von R lässt sich im Graphen nun so charakterisieren: Wann immer es einen Pfeil   zwischen verschiedenen Knoten a und b des Graphen gibt, dann gibt es gleichzeitig einen Pfeil  . (Einen Graphen mit dieser Eigenschaft nennt man auch einen symmetrischen Graphen.)

Pfeile   erfüllen dieses Kriterium automatisch.

EigenschaftenBearbeiten

  • Mit Hilfe der konversen Relation   lässt sich die Symmetrie einer Relation   charakterisieren durch
     
  • Ist die Relation   symmetrisch, dann gilt dies auch für die komplementäre Relation  . Diese ist definiert durch
     .
  • Sind die Relationen   und   symmetrisch, dann gilt dies auch für ihre Schnittmenge   und ihre Vereinigungsmenge  . Diese Aussage lässt sich von zwei Relationen auf den Durchschnitt   und die Vereinigung   einer beliebigen (nichtleeren) Familie von symmetrischen Relationen verallgemeinern.
  • Die kleinste symmetrische Relation  , die eine gegebene Relation   umfasst, wird der symmetrische Abschluss von   genannt. Dieser lässt sich leicht angeben als
     
  • Zu einer beliebigen zweistelligen Relation   auf einer Menge lassen sich die Potenzen   bezüglich der Verkettung von Relationen bilden. Ist nun   symmetrisch, dann gilt dies auch für alle Potenzen  .
  • Eine Relation (auf einer endlichen Menge) ist genau dann symmetrisch, wenn die ihrem Graphen zugeordnete Adjazenzmatrix symmetrisch (zur Hauptdiagonale) ist.