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In der Gruppentheorie betrachtet man spezielle Abbildungen zwischen Gruppen, die man Gruppenhomomorphismen nennt. Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung zwischen zwei Gruppen, die mit diesen verträglich ist, und damit ein spezieller Homomorphismus.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Gegeben seien zwei Gruppen   und   Eine Funktion   heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente   gilt:

 

Die Gleichung besagt, dass der Homomorphismus strukturerhaltend ist: Es ist egal, ob man erst zwei Elemente verknüpft und das Ergebnis abbildet oder ob man erst die zwei Elemente abbildet und dann die Bilder verknüpft.

Aus dieser Definition folgt, dass ein Gruppenhomomorphismus das neutrale Element   von   auf das neutrale Element   von   abbildet:

 

denn für alle   gilt

 

also ist   das neutrale Element in  .

Weiterhin folgt, dass er Inverse auf Inverse abbildet:

  für alle  

denn wegen

 

ist   das Inverse von  

Bild und KernBearbeiten

Als Bild (engl. image) des Gruppenhomomorphismus   bezeichnet man die Bildmenge von   unter  :

 

Der Kern (engl. kernel) von   ist das Urbild des neutralen Elements  :

 

Genau dann, wenn   gilt (der Kern von   also nur das neutrale Element von   enthält, das immer im Kern liegt), ist   injektiv. Ein injektiver Gruppenhomomorphismus wird auch Gruppen-Monomorphismus genannt.

Der Kern von   ist stets ein Normalteiler von   und das Bild von   ist eine Untergruppe von  . Nach dem Homomorphiesatz ist die Faktorgruppe   isomorph zu  .

BeispieleBearbeiten

Triviale Beispiele

  • Sind   und   beliebige Gruppen, dann ist die Abbildung  , die jedes Element auf das neutrale Element von   abbildet, ein Gruppenhomomorphismus. Sein Kern ist ganz  .
  • Für jede Gruppe   ist die identische Abbildung  , ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.
  • Ist   eine Untergruppe der Gruppe  , so ist die Inklusionsabbildung   ein injektiver Gruppenhomomorphismus von   in  .

Nichttriviale Beispiele

  • Betrachte die additive Gruppe   der ganzen Zahlen und die Faktorgruppe  . Die Abbildung   (siehe Kongruenz und Restklassenring), ist ein Gruppenhomomorphismus. Er ist surjektiv und sein Kern besteht aus der Menge   aller durch 3 teilbaren ganzen Zahlen. Dieser Homomorphismus wird kanonische Projektion genannt.
  • Die Exponentialfunktion ist ein Gruppenhomomorphismus zwischen der additiven Gruppe   der reellen Zahlen   und der multiplikativen Gruppe   der reellen Zahlen ungleich 0, denn  . Diese Abbildung ist injektiv, und ihr Bild ist die Menge der positiven reellen Zahlen.
  • Die komplexe Exponentialfunktion ist ein Gruppenhomomorphismus zwischen den komplexen Zahlen   mit der Addition und den von 0 verschiedenen komplexen Zahlen mit der Multiplikation. Dieser Homomorphismus ist surjektiv und sein Kern ist  , wie man z. B. aus der Eulerschen Identität entnehmen kann.
  • Die Abbildung, die jeder invertierbaren  -Matrix ihre Determinante zuordnet, ist ein Homomorphismus  
  • Die Abbildung, die jeder Permutation ihr Vorzeichen zuordnet, ist ein Homomorphismus  

Verkettung von GruppenhomomorphismenBearbeiten

Sind   und   zwei Gruppenhomomorphismen, dann ist ihre Komposition   ebenfalls ein Gruppenhomomorphismus.

Die Klasse aller Gruppen bildet mit den Gruppenhomomorphismen eine Kategorie.

Mono-, Epi-, Iso-, Endo-, AutomorphismusBearbeiten

Ein Homomorphismus   heißt

Ist   ein Gruppenisomorphismus, dann ist auch seine Umkehrfunktion ein Gruppenisomorphismus, die Gruppen   und   heißen dann zueinander isomorph: Sie unterscheiden sich nur in der Bezeichnung ihrer Elemente und stimmen für fast alle Zwecke überein.

Ist   ein Gruppenhomomorphismus einer Gruppe in sich selbst, dann heißt er Gruppenendomorphismus. Ist er darüber hinaus bijektiv, dann wird er Gruppenautomorphismus genannt. Die Menge aller Gruppenendomorphismen von   bildet mit der Komposition einen Monoid. Die Menge aller Gruppenautomorphismen einer Gruppe   bildet mit der Komposition eine Gruppe, die Automorphismengruppe   von  .

Die Automorphismengruppe von   enthält nur zwei Elemente: Die Identität (1) und die Multiplikation mit −1; sie ist also isomorph zur zyklischen Gruppe  .

In der Gruppe von   ist jede lineare Abbildung   mit   ein Automorphismus.

Homomorphismen zwischen abelschen GruppenBearbeiten

Sind   und   Gruppen, wobei   abelsch ist, dann bildet die Menge   aller Gruppenhomomorphismen von   nach   selbst eine (wiederum abelsche) Gruppe, nämlich mit der „punktweisen Addition“:

  für alle  .

Die Kommutativität von   benötigt man, damit   wieder ein Gruppenhomomorphismus ist.

Die Menge der Endomorphismen einer abelschen Gruppe   bildet mit der Addition eine Gruppe, die als   bezeichnet wird.

Die Addition von Homomorphismen ist in folgendem Sinne verträglich mit der Komposition: Sind  , dann gilt

  und  .

Dies zeigt, dass die Endomorphismengruppe   einer abelschen Gruppe sogar einen Ring bildet, den Endomorphismenring von  .

Zum Beispiel ist der Endomorphismenring der Kleinschen Vierergruppe isomorph zum Ring der 2×2-Matrizen über dem Restklassenkörper  .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten