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Eulersche Formel

Brücke zwischen trigonometrischen Funktionen und Exponentialfunktionen
(Weitergeleitet von Eulersche Identität)
Veranschaulichung am Einheitskreis in der komplexen Zahlenebene
Dreidimensionale Darstellung der eulerschen Formel

Die nach Leonhard Euler genannte eulersche Formel bzw. Eulerformel, in manchen Quellen auch eulersche Relation, ist eine Gleichung, die eine grundsätzliche Verbindung zwischen den trigonometrischen Funktionen und den komplexen Exponentialfunktionen mittels komplexer Zahlen darstellt.

Eulersche FormelBearbeiten

Die eulersche Formel bezeichnet die für alle   gültige Gleichung

 ,

wobei die Konstante   die eulersche Zahl (Basis der natürlichen Exponentialfunktion bzw. des natürlichen Logarithmus) und die Einheit   die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen bezeichnen.

Als Folgerung aus der eulerschen Formel ergibt sich für alle   die Gleichung

 .

Herleitung mittels ReihenentwicklungBearbeiten

Die eulersche Formel lässt sich aus den Maclaurinschen Reihen der Funktionen   und  ,  , herleiten

 

Die Umformungen basieren auf  

Eulersche IdentitätBearbeiten

 
Animation der Approximation von   durch den Ausdruck  . Die Punkte stellen jeweils für ein   die Werte   mit   dar.

Für   ergibt sich aus der eulerschen Formel die sogenannte eulersche Identität

 ,

die einen einfachen Zusammenhang zwischen vier der bedeutendsten mathematischen Konstanten herstellt: der eulerschen Zahl  , der Kreiszahl  , der imaginären Einheit   sowie der reellen Einheit  . Die folgende umgeformte Variante der Gleichung wird bisweilen – obwohl komplizierter – bevorzugt, da in ihr mit der Null noch eine weitere mathematisch bedeutende Konstante hinzukommt:

 .

Erweitert man die Definition des Zahlenwerts von   als Grenzwert   auf die komplexe Zahlenebene mit  , so ergibt sich dementsprechend für   der Wert  . Die nebenstehende Animation zeigt die zu einem Streckenzug in der komplexen Ebene verbundenen Zwischenergebnisse der Berechnung des Ausdrucks  : Sie veranschaulicht, dass dieser Streckenzug für wachsendes   die Form eines Kreisbogens annimmt, dessen linkes Ende sich tatsächlich der Zahl   auf der reellen Achse nähert.

Beziehung zwischen Exponentialfunktionen und trigonometrischen FunktionenBearbeiten

 
Beziehung zwischen Sinus, Kosinus und Exponentialfunktion

FormulierungBearbeiten

Die eulersche Formel ist ein zentrales Bindeglied zwischen Analysis und Trigonometrie:

 .

HerleitungBearbeiten

Sinus und Kosinus ergeben sich Realteil und Imaginärteil der komplexen Exponentialfunktion.

Den Realteil erhält man, indem man eine komplexe Zahl   mit der Konjugierten   addiert und durch zwei dividiert:

 .

Den Imaginärteil erhält man, indem man   berechnet:

 .

ErläuterungBearbeiten

Die Eulerformel erlaubt eine völlig neue Sicht auf die trigonometrischen Funktionen, da die in der herkömmlichen Trigonometrie allein mit reellen Argumenten verwendeten Funktionen Sinus und Kosinus nun auch noch eine Bedeutung in der komplexen Analysis erhalten.

Die Formeln für Real- und Imaginärteil ergeben sich durch:

 

Eine Folge der Verbindung von trigonometrischen Funktionen und Exponentialfunktion aus der Eulerformel ist der Moivresche Satz (1730).

HyperbelfunktionenBearbeiten

Versieht man die Sinus und Kosinus mit imaginären Argumenten, wird dadurch eine Brücke zu den Hyperbelfunktionen geschlagen:

 
 

Wie zu sehen, entsprechen die beiden erhaltenen Funktionen genau den Definitionen des Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.

Weitere AnwendungenBearbeiten

 
Zeigerdarstellung einer Wechselspannung in der komplexen Ebene

Ausgehend davon findet die eulersche Formel auch zur Lösung zahlreicher anderer Probleme Anwendung, etwa bei der Berechnung der Potenz   der imaginären Einheit mit sich selbst. Obwohl das erhaltene Resultat mehrdeutig ist, bleiben alle Einzellösungen im reellen Bereich mit einem Hauptwert von  

Eine praktisch wichtige Anwendung der eulerschen Formel findet sich im Bereich der Wechselstromtechnik, namentlich bei der Untersuchung und Berechnung von Wechselstromkreisen mit Hilfe komplexer Zahlen.

GeschichteBearbeiten

Die eulersche Formel erschien erstmals 1748 in Leonhard Eulers zweibändiger Introductio in analysin infinitorum unter der Prämisse, dass der Winkel eine reelle Zahl ist. Diese Einschränkung jedoch erwies sich bald als überflüssig, denn die eulersche Formel gilt gleichermaßen für alle reellen wie komplexen Argumente. Dies ergibt sich aus der eulerschen Formel mit reelem Argument in Verbindung mit dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen.

Zuvor hat Roger Cotes 1714 einen fehlerhaften mathematischen Zusammenhang veröffentlicht, welcher der eulerschen Formel ähnelt.[1]

In moderner Notation sieht er folgendermaßen aus:

 ,

wobei ein im Koordinatenursprung fixierter Kreis mit Radius   und ein Winkel   zwischen x-Achse und einem Strahl, der den Ursprung schneidet, betrachtet werden.

Die imaginäre Einheit   müsste auf der anderen Seite der Gleichung stehen.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Roger Cotes: Logometria. Philosophical Transactions of the Royal Society of London,. 1714, S. 32 (Latein, hathitrust.org).

LiteraturBearbeiten