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Die Faktorgruppe oder Quotientengruppe ist eine Gruppe, die mittels einer Standardkonstruktion aus einer gegebenen Gruppe unter Zuhilfenahme eines Normalteilers gebildet wird. Sie wird mit bezeichnet und ist die Menge der Nebenklassen.

KonstruktionBearbeiten

Die Elemente von   sind die Nebenklassen bezüglich  , also

 .

Die innere Verknüpfung   wird definiert als

 .

Man kann mit Hilfe der Normalteilereigenschaft von   zeigen, dass diese Verknüpfung wohldefiniert ist und dass   eine Gruppe ist. Diese Gruppe heißt Faktorgruppe von   nach  . Das neutrale Element von   ist   und das zu   inverse Element ist durch   gegeben.

Das Produkt   stimmt mit dem Komplexprodukt   überein. Umgekehrt kann man zeigen, dass eine Untergruppe   einer Gruppe   ein Normalteiler ist, wenn für alle   die Gleichheit   gilt.

In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe Normalteiler. Somit lässt sich dort nach jeder Untergruppe die Faktorgruppe bilden, welche dann wiederum abelsch ist.

Die Ordnung der Faktorgruppe   ist gerade die Anzahl der Nebenklassen von  . Diese Anzahl wird Index von   in   genannt und mit   bezeichnet. Ist   eine endliche Gruppe, so gilt nach dem Satz von Lagrange  .

BeispieleBearbeiten

Beispiel ℤ6Bearbeiten

Sei   die Gruppe der ganzen Zahlen mit der Addition als Gruppenoperation und sei   die Untergruppe von  , die aus allen Vielfachen von 6 besteht. Die Gruppe   ist abelsch und somit ist jede Untergruppe ein Normalteiler. Die Faktorgruppe   besteht nun aus allen Nebenklassen der Untergruppe  , diese sind:

 

 

 

 

 

 

Dies sind alle Nebenklassen von  , wie man leicht sehen kann, da sie die Gruppe   partitionieren und  ,  ,   und so weiter. Da die Operation in   die Addition ist, nennt man die Addition der Nebenklassen auch Addition und es gilt beispielsweise  . Schreibt man abkürzend

 ,    ,    ,    ,    ,    ,

so besteht   aus den 6 Elementen   und ergibt sich folgende Verknüpfungstabelle für die Faktorgruppe  

             
             
             
             
             
             
             

Damit hat man ein Verfahren, mit dem man Untergruppen wie   konstruieren kann.

Restklassengruppe der additiven Gruppe der ganzen ZahlenBearbeiten

Das vorhergehende Beispiel lässt sich verallgemeinern: Für jedes   ist   eine Untergruppe der abelschen Gruppe  , also insbesondere ein Normalteiler. Die Faktorgruppe   wird Restklassengruppe modulo   genannt und kurz mit   bezeichnet. Sie hat genau   Elemente.

Ihre Elemente werden als

 

geschrieben und heißen Kongruenzklassen bezüglich der Addition modulo  . Es ist also

 .

Die innere Verknüpfung von   wird üblicherweise wieder mit   bezeichnet. In   gilt beispielsweise

 ,

da  , also  .

Faktorgruppe nach Kernen von HomomorphismenBearbeiten

Seien   und   zwei Gruppen und   ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist der Kern von   ein Normalteiler von   und daher kann die Faktorgruppe   gebildet werden. Nach dem Homomorphiesatz für Gruppen ist diese Faktorgruppe isomorph zum Bild von  , das eine Untergruppe von   ist.

Universelle Eigenschaft der FaktorgruppeBearbeiten

Ist   ein Normalteiler von  , dann ist die Abbildung   mit   mit Kern   ein Epimorphismus, also ein surjektiver Homomorphismus. Die universelle Eigenschaft besagt nun, dass zu jedem Gruppenhomomorphismus   mit   genau ein Gruppenhomomorphismus   mit   existiert.

Beispiel: Sei   die natürliche Projektion der ganzen Zahlen auf die Restklassengruppe modulo 6. Sei   Gruppenhomomorphismus. Dann liegt   im Kern von   und   ergibt sich zu:

 

 

 

 

 

 .

Konstruktion von GruppenBearbeiten

Durch den Übergang zur Faktorgruppe erreicht man, das sämtliche Elemente des Normalteilers auf das neutrale Element abgebildet werden. Dadurch kann man das Bestehen gewisser Identitäten erzwingen.

KommutatorgruppeBearbeiten

Die von allen Kommutatoren erzeugte Gruppe   ist ein Normalteiler der Gruppe  . In der Faktorgruppe   werden daher alle Kommutatoren trivial, das heißt die Faktorgruppe ist abelsch. Man nennt dies die Abelisierung der Gruppe.

RelationenBearbeiten

Allgemeiner kann man das Bestehen beliebiger Gleichungen (Relationen) in einer Gruppe erzwingen. Kommen in den gewünschten Gleichungen Elemente   vor, so betrachte in der freien Gruppe   über   Elementen den kleinsten Normalteiler  , der alle Ausdrücke in   enthält, die gleich dem neutralen Element sein sollen. Die Faktorgruppe   leistet das Verlangte. Genaueres entnehme man dem Artikel "Präsentation einer Gruppe".

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten