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Inklusionsabbildung

mathematische Funktion, die eine Teilmenge in ihre Grundmenge einbettet
Zwei Beispiele für eine Inklusion. Bsp b) zeigt eine echte Inklusion.

Eine Inklusionsabbildung (kurz Inklusion), natürliche Einbettung oder kanonische Einbettung ist eine mathematische Funktion, die eine Teilmenge in ihre Grundmenge einbettet.

DefinitionBearbeiten

Für Mengen   und   mit   ist die Inklusionsabbildung   durch die Abbildungsvorschrift

 

gegeben. Manchmal wird das spezielle Pfeilsymbol   zur Kennzeichnung benutzt und man schreibt dann  .

Man spricht von einer echten Inklusion, falls   eine echte Teilmenge von   ist, das heißt, wenn es Elemente in   gibt.

EigenschaftenBearbeiten

  • Jede Inklusionsabbildung ist injektiv. Eine echte Inklusion ist nicht surjektiv.
  • Ist  , so ist die Inklusion die Identitätsabbildung.
  • Eine beliebige Funktion   lässt sich bezüglich der Verkettung von Funktionen zerlegen als  , wobei   surjektiv und   injektiv ist: Sei   die Bildmenge von   und   die Funktion, die auf   mit   übereinstimmt, also  . Für   nimmt man die Inklusionsabbildung.
  • Ist   eine beliebige Funktion und   eine Teilmenge der Definitionsmenge  , dann versteht man unter der Einschränkung   von   auf   diejenige Funktion  , die auf   mit   übereinstimmt. Mit Hilfe der Inklusion   lässt sich die Einschränkung kurz schreiben als
 .
  • Umgekehrt lässt sich jede Inklusionsabbildung   als Einschränkung einer geeigneten identischen Abbildung auffassen:  

WeblinksBearbeiten

  Wiktionary: Inklusion – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen