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Eine surjektive Funktion; X ist die Definitionsmenge und Y die Zielmenge.

Eine surjektive Funktion ist eine mathematische Funktion, die jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert annimmt. Das heißt, jedes Element der Zielmenge hat mindestens ein Urbild. Eine Funktion ist bezüglich ihrer Bildmenge immer surjektiv.

Eine surjektive Funktion wird auch als Surjektion bezeichnet. Ist sie zudem auch injektiv, heißt sie bijektiv. In der Sprache der Relationen spricht man auch von rechtstotalen Funktionen.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Es seien   und   Mengen, sowie   eine Abbildung.

Die Abbildung   heißt surjektiv, wenn es zu jedem   aus   (mindestens) ein   aus   mit   gibt. Eine solche Abbildung notiert man auch so:  .

Formal:   (siehe Existenz- und Allquantor).

Grafische VeranschaulichungenBearbeiten

Beispiele und GegenbeispieleBearbeiten

  • Die leere Funktion   in eine einelementige Menge ist das wohl einfachste Beispiel einer nichtsurjektiven Funktion.
  • Die Funktion   mit   ist surjektiv, denn für jede reelle Zahl   gibt es ein Urbild. Aus der Gleichung   erhält man nämlich durch Äquivalenzumformung die Gleichung   womit sich für jedes   ein Urbild   berechnen lässt.
  • Die Sinusfunktion   ist surjektiv. Jede horizontale Gerade   mit   schneidet den Graphen der Sinusfunktion mindestens einmal (sogar unendlich oft).
  • Die Sinusfunktion   ist jedoch nicht surjektiv, da z. B. die Gerade   keinen Schnittpunkt mit dem Graphen hat, der Wert 2 also nicht als Funktionswert angenommen wird.
  •   bezeichne die Menge der komplexen Zahlen.
  ist nicht surjektiv, da z. B.   kein Urbild hat.
  ist surjektiv.

EigenschaftenBearbeiten

  • Man beachte, dass die Surjektivität einer Funktion   nicht nur vom Funktionsgraphen   sondern auch von der Zielmenge   abhängt (im Gegensatz zur Injektivität, deren Vorliegen man am Funktionsgraphen ablesen kann).
  • Eine Funktion   ist genau dann surjektiv, wenn   gilt für alle  .
  • Sind die Funktionen   und   surjektiv, dann gilt dies auch für die Komposition (Verkettung)  
  • Aus der Surjektivität von   folgt, dass   surjektiv ist.
  • Eine Funktion   ist genau dann surjektiv, wenn   eine Rechtsinverse hat, also eine Funktion   mit   (wobei   die identische Abbildung auf   bezeichnet). Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom der Mengenlehre.
  • Eine Funktion   ist genau dann surjektiv, wenn   rechtskürzbar ist, wenn also für beliebige Funktionen   mit   schon   folgt. (Diese Eigenschaft motiviert den in der Kategorientheorie verwendeten Begriff Epimorphismus.)
  • Jede beliebige Funktion   ist darstellbar als Verkettung  , wobei mit   die Funktion   surjektiv und   injektiv ist.

Mächtigkeiten von MengenBearbeiten

Für eine endliche Menge   ist die Mächtigkeit   einfach die Anzahl der Elemente von  . Ist nun   eine surjektive Funktion zwischen endlichen Mengen, dann kann   höchstens so viele Elemente wie   haben, es gilt also  

Für unendliche Mengen wird der Größenvergleich von Mächtigkeiten zwar mit Hilfe des Begriffs Injektion definiert, aber auch hier gilt: Ist   surjektiv, dann ist die Mächtigkeit von   nicht größer als die Mächtigkeit von   auch hier schreibt man dafür  

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

 Wikibooks: Beweisarchiv: Mengenlehre – Lern- und Lehrmaterialien