Diskussion:Surjektive Funktion

Surjektivität für partielle Funktionen (erledigt)

Wichtiger Hinweis: Im Sinne der Definition der Funktion ist die Darstellung im Artikel korrekt und das, was hier folgt, falsch. Es gibt aber gute Gründe, die Surjektivität auch bei Funktionen zuzulassen, die als Relation nicht linkstotal sind, sprich die außerhalb ihres Definitionsbereichs angewendet werden. Ich habe das jetzt im Weiteren nicht mehr korrigiert, siehe unten. --Tino

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Irgendetwas stimmt hier an der Interpretation der Surjektivität nicht.

Die hier angegebene Interpretation von linkstotal stimmt nur, wenn man implizit voraussetzt, daß die Funktion im ganzen Bereich (Urbild) wohldefiniert ist. Diese Voraussetzung muß man aber unbedingt dazuschreiben, weil wer mit Holomorphen Funktionen operiert ist sonst etwas überrascht, daß diese im Surjektivitätsfall als Relation aufgefaßt plötzlich linkstotal sein sollte.

Beispiel:

f:R->R

f(x) := 1/x+1 für x<0
f(0) := undef
f(x) := 1/x-1 für x>0

f(-0.1) ist -9
f(-1)   ist 0
f(1)    ist 0
f(0.1)  ist 9

somit ist f(R)=R, nicht injektiv, auch nicht stetig, aber f ist surjektiv. Und als Relation gesehen ist f rechtstotal, aber nicht linkstotal.

Im Fall Holomorpher Funktionen ist es eben oft gar nicht so einfach das/die x zu finden, für das/die gilt f(x)=undef, also ist es etwas schwierig, dieses x auszuschließen ;)

Zu Deutsch: Wenn es ein x gibt für das gilt, es gibt kein y mit f(x)=y, kann f immer noch surjektiv sein. In der Mengendarstellung fehlt links also ein verwaister Kringel.

-Tino

Sei doch so gut und korrigiere es direkt im Text. Einfach im Artikel auf Seite bearbeiten klicken! Stern 01:22, 5. Jun 2004 (CEST)

Ich habe keine Zeit sicherzustellen, daß ich Recht habe! Und ich bin kein Forumulierungskünstler, der das jetzt in den Artikel sauber einarbeiten könnte, ohne den total zu zerbrechen, sorry.

Deshalb diskutiere ich lieber und fummle nix kaputt was vielleicht gut war. Und ich habe hier nicht die Möglichkeit ein sauberes neues Mengen-Bild zu generieren.

Es gibt verschiedene mathematische Grundlagenmodelle, insbesondere unterscheidet sich die Mathematik im Gymnasium und dem der Universtität ziemlich, und ich habe jetzt wirklich keine Ahnung was alles mit diesen neuen Lehrplänen dazugekommen ist. Die Wikipedia soll sich IMHO in solchen Punkten vor allem an Schülern richten.

Es könnte durchaus sein, daß impliziert wird, daß eine Funktion immer auf ihrem Urbild vollständig definiert ist. In diesem Fall wäre die Interpretation von linkstotal korrekt. Und ich habe jetzt nicht nachgesehen, und habe auch nicht die Zeit dazu, nachzusehen, welche mathematischen Grundlagen in der Wikipedia verwendet werden. Bin außerdem nicht so gerade der Starmathematiker ;)

-Tino [nicht registrierter Benutzer]

PS: Zufällig die Antwort noch gesehen .. ich nutze die Wikipedia eigentlich selten, bin nur durch Zufall drauf gestoßen.

PPS: Habe jetzt das "links- und rechtstotal" etwas umformuliert, aber im Prinzip trifft es das doch nicht ganz, weil da der AHA-Effekt fehlt, daß eben im Urbild einzelne Elemente durchaus nicht getroffen werden können.

Schön, dass Du so vorsichtig bist. Vielleicht können wir Dich ja doch noch als regelmäßigen Mitarbeiter gewinnen. In meinen Augen richtet sich die Wikipedia aber keineswegs an Schüler. Vielmehr hat sie den Anspruch alle zu berühren. Daher fangen Artikel oft mit einer allgemeinverständlichen Zusammenfassung an, die auch Laien verstehen und gehen dann ins Detail. Wenn Dinge impliziert werden, sollte dies auch im Text stehen. Aber das ist jetzt meine persönliche Meinung. Stern 01:49, 5. Jun 2004 (CEST)

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Also unter Funktion (Mathematik) sehe ich, daß da definiert wird:

"Eine Funktion ist daher eine linkstotale und rechtseindeutige Relation."

Seufz, damit war alles in Ordnung. Sage doch, hängt davon ab, wie man was definiert, für mich ist eine Funktion nicht unbedingt linkstotal, weil ich Funktionen auch durchaus außerhalb ihres Definitionsbereichs verwende (bei holomorphen Funktionen ist das z. B. normal, da beschäftigt man sich ja gerade mit den Stellen an denen die Funktionen nicht definiert sind). Ich wollte das eigentlich nicht so ausufern lassen. Weil was ich jetzt editiert habe ist zwar richtig, aber trotzdem redundant, also eher verwirrend.

Sodele, ich fummle jetzt *nicht* mehr weiter rum, weil ab jetzt kann es nur noch total in die Hose gehen. Ich finde Wikipedia gut, aber ich beschränke mich lieber nur aufs kommentieren, und überlasse das editieren denen, die sich damit auskennen und es, im Gegensatz zu mir, richtig machen.

-Tino

PS: Ich habe gerade noch schnell die Definition von Holomorphen Funktionen hier überflogen. In diesem Sinne ist das, was ich hier geschrieben habe, vollständiger Quatsch. Ich bleibe "auch auf die Gefahr hin, daß mir mein Diplom aberkannt wird" (*eg*), dabei, bei Surjektivität nicht zwingend die Linkstotalität anzunehmen. Allerdings kann es sein, daß ich der einzige auf diesem Planeten bin, der das so sieht. Eben deshalb hätte ich mich nicht dazu verleiten lassen sollen, im Artikel rumzueditieren.

Vermutlich bist Du der einzige, ich habe den entsprechende Halbsatz wieder aus dem Artikel gelöscht. Holomorphe Funktionen sind einfach Funktionen und linkstotal, meromorphe Funktionen sind je nach Definition gar keine Funktionen, sondern z.B. Äquivalenzklassen von Paaren (Zähler, Nenner) holomorpher Funktionen. Im eindimensionalen Fall kann man sich immer noch dadurch retten, dass man meromorphe Funktionen als Funktionen mit Zielmenge $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ auffasst, aber z.B. für die meromorphe Funktion

$(z,w)\mapsto z/w$

auf $\mathbb {C} ^{2}$ funktioniert das nicht mehr.-- Gunther 01:09, 17. Apr 2005 (CEST)

Kann man sagen... (erledigt)

Kann man sagen, dass die Bijektivität ein Spezialfall der Surjektivität ist?

Ja. Jede bijektive Funktion ist auch surjektiv.-- Gunther 01:09, 17. Apr 2005 (CEST)

Fehler in der Einleitung? (erledigt)

In der Einleitung steht: "Anders ausgedrückt: Bild- und Zielmenge stimmen überein." Das ist mE nicht korrekt. Schließlich ist auch ein Abbildung von {a} nach {b} mit a!=b f(a)=b surjektiv, aber die Mengen stimmen nicht überein. Oder interpretiere ich den Satz falsch?

Ich glaube, Du stellst Dir unter mindestens einem der Begriffe Zielmenge und Bildmenge das Falsche vor.--Gunther 20:21, 24. Aug 2005 (CEST)

Schlechte Zeichnung? (erledigt)

Die Zeichnung suggeriert, dass für jedes Element aus X auch ein Y existiert... -Dani

Ja, und das ist auch richtig so, weil es sich hier um Funktionen handelt. Gruß, Wasseralm 21:27, 27. Okt. 2006 (CEST)

Erstes Beispiel

Es geht um den ersten Punkt bei Beispiele, das mit 2x+1.

Irgendwie kapier ich die Methode überhaupt nicht.

Dann kann ich doch auch zeigen, das x^2 surjektiv über R ist, da:

$y=x^{2}\Rightarrow x={\sqrt {y}}$

gut soweit, das reicht nicht, jetzt die Probe:

${\sqrt {y}}^{2}=y$

passt, x^2 ist surjektiv über R

Na ja, die Formulierung im ersten Punkt ist noch verbesserungsfähig (mache ich bei Gelegenheit), aber dein Beispiel funktioniert nicht: Die Gleichung $y=x^{2}$ ist nämlich nicht für alle y nach x auflösbar. Gruß, Wasseralm 20:21, 21. Nov. 2007 (CET)

Auch wenn schon Jahre vergangen sind... Die Implikation $y=x^{2}\Rightarrow x={\sqrt {y}}$ ist sowieso falsch, selbst wenn genannte Auflösbarkeit gegeben ist (also für y>=0): es gilt nur $y=x^{2}\Rightarrow |x|={\sqrt {y}}$. Dass die Betragsfunktion nicht surjektiv auf R ist, versteht man vielleicht eher. --Stefan Neumeier 23:48, 14. Feb. 2011 (CET)

Ich hab da ein ganz anderes Problem mit der nicht Surjektivität von R-->R mit x->x^2. wenn ich nämlich die reellen Zahlen von R aus abbilde, liegen diese wieder in R, wenn ich z.B. -1 und 1 danach abbilde werden die bilder auf 1 geworfen, wonach surjektivität sehrwohl herrscht..

Surjektivität bei Relationen

Die Formulierung impliziert rechtstotalität. Surjektiviät allerdings nicht. Und: Surjektivität gibt es nicht nur bei Funktionen, sondern auch bei Relationen. Warum wird hier also eine Funktion als Beispiel benutzt? -- felix f.

Funktionen sind der übliche Kontext, in dem man Surjektivität betrachtet. Für die Verwendung von surjektiv bei Relationen bräuchten wir erst einmal eine Quelle – der nach meiner Kenntnis übliche Begriff dafür ist rechtstotal. Gruß, Wasseralm 22:21, 31. Mär. 2008 (CEST)

Meine Einwände sind unberechtigt. Nehme alles zurück.

Surjektivität setzt Funktion voraus?

Der Begriff Surjektivität setzt doch eine Funktion voraus, oder? D.h. doch dann folglich, dass ein X auf mehrere Y treffen dürfte, was aber bei dem ganz links gezeigten Bild der Fall ist. Das wäre meiner Meinung nach dann eher Rechtstotal. Oder der Einleitende Satz ist falsch, dass es sich um eine Funktionale Eigenschaft handle.

Hallo, ich verstehe die Frage nicht ganz. Vielleicht klärt der vorhergehende Absatz das Problem. Gruß, Wasseralm 14:52, 25. Okt. 2008 (CEST)

Vorschlag

Mal eine Idee: Der Laie sieht ja an dem ersten Bild nicht, was nun gerade die Surjektion ausmacht. Didaktisch geschickt wäre es m. E., daneben eine ähnliche Grafik mit einer nicht surjektiven Funktion zu machen, etwa das gleiche Bild, wobei aber etwa die 1 auch auf B abgebildet wird. (Und dann natürlich eine Legende "surjektiv" - "nicht surjektiv").--128.176.178.14 11:39, 11. Mär. 2009 (CET)

Eigenschaften

Die Behauptung im Artikel

• Eine Funktion $f:A\to B$ ist genau dann surjektiv, wenn $f$ rechts kürzbar ist, also für beliebige Funktionen $g,h:B\to C$ mit $g\circ f=h\circ f$ schon $g=h$ folgt. (Diese Eigenschaft motiviert den in der Kategorientheorie verwendeten Begriff Epimorphismus.)
  

ist falsch! Der in der Kategorientheorie verwendeten Begriff des Epimorphismus ist schwächer als der Begriff der Surjektivität, denn es ist zwar jede surjektive Abbildung rechtskürzbar, aber nicht jede rechtskürzbare Funktion ist surjektiv! Ein Gegenbeispiel findet sich z.B. im Buch von Bodo Pareigis: Kategorien und Funktoren. B.G. Teubner, Stuttgart 1969. S. 17. Ich werde das korrigieren. --RPI 14:35, 3. Nov. 2009 (CET)

siehe Diskussion:Injektivität --Pwjg 14:57, 3. Nov. 2009 (CET)

Dito! --RPI 15:21, 3. Nov. 2009 (CET)

In der Kategorientheorie entsprechen die Retraktionen weitestgehend den Surjektionen (siehe 4. Eigenschaft und Kategorientheorie#Strukturtransfer, letzter Satz) und nicht die Epimorphismen! --RPI 15:57, 3. Nov. 2009 (CET)

Vgl. Diskussion:Injektivität#Eigenschaften. --RPI 18:42, 4. Nov. 2009 (CET)

Auswahlaxiom

Beim 4. Punkt in Eigenschaften:

• Eine Funktion f: A nach B ist genau dann surjektiv, wenn f eine rechte Inverse hat, also eine Funktion g: B --> A mit f ° g = :{id}_B (wobei {id}_B die identische Abbildung auf B bezeichnet). Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom der Mengenlehre.

Meiner Meinung nach ist das nur Äqivalent zum Auswahlaxiom, wenn B unendlich viele elemente hat. Sind es nur endlich viele bräuchte man ja keine unendliche Auswahlfunktion (nicht signierter Beitrag von 91.37.116.244 (Diskussion) 08:48, 6. Jan. 2011 (CET))

Jain. Du hast zwar recht, dass man in diesem Fall das Auswahlaxiom nicht benötigt, aber es gibt ja auch Funktionen, die auf unendlichen Mengen definiert sind, d.h. das Auswahlaxiom gewährleistet die allgemeine Gültigkeit der Aussage. Umgekehrt folgt aus der allgemein gültigen Aussage das Auswahlaxiom. Ich denke, dass das Auswahlaxiom auch nur für Funktionen mit überabzählbarer Definitionsmenge benötigt wird, bei abzählbar unendlicher Definitionsmenge genügen – ich bin mir da im Moment nicht ganz sicher (lang ist's her) – wohl auch schon die anderen Axiome. --RPI 17:33, 19. Feb. 2011 (CET)

Einordnung als Eigenschaft einer Funktion

Ich meine, daß die Aussage

 Surjektivität (surjektiv) oder Rechtstotalität (rechtstotal; in der Sprache der Relationen) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion.

so nicht stimmt. Jede Funktion ist natürlich surjektiv bzgl. ihres Wertebereichs. Der ist aber sicher nicht gemeint. Korrekt sollte es daher heißen: "Surjektivität ist eine Eigenschaft einer Funktion bezüglich zweier Mengen." Meinetwegen auch einer Menge, wenn hier eh von linkstotalen Abbildungen die Rede ist. Es gibt erfahrungsgemäß eine Menge Verwirrungen mit dem Paar injektiv/surjektiv und ich glaube die etwas schiefe Einordnung im Text fördert diese.

-- Schäufli 23:29, 14. Apr. 2011 (CEST)

Beispiele

Würde noch x³-x als Beispiel für eine surjektive aber nicht injektive Funktion hinzufügen.--Junior zanett1 21:07, 26. Feb. 2012 (CET)

surjektiv und injektiv zugleich?

Wie können zwei Mengen zugleich surjektiv und injektiv sein? Wenn ich die beiden Artikel richtig verstehe, dann widerspricht sich das doch. Insbesondere kann dann doch keine Bijektion dabei herauskommen.

Beispiele:

a) surjektiv:

Menge M: 1, 2, 3, 4

Menge N: A, B, C

b) injektiv:

Menge S: 1, 2, 3

Menge T: A, B, C, D

c) bijektiv:

Menge X: 1, 2, 3, 4

Menge Y: A, B, C, D

Wenn eine Bijektion vorliegt wie im Beispiel c), wie kann sie dann zugleich auch surjektiv wie im Beispiel a) und injektiv wie im Beispiel b) sein?--Wikilaser (Diskussion) 23:54, 17. Okt. 2018 (CEST)

Hi, Surjektivität und Injektivität ist für Abbildungen definiert, nicht für Mengen. Zu deiner Frage bezogen auf Abbildungen: Betrachte die Identitätsabbildung $f(x)=x$ und prüfe die Eigenschaften. --188.104.218.152 20:20, 13. Jan. 2019 (CET)

Meinetwegen geht es um Abbildungen. Grundlage für Abbildungen kann aber nur das Vorhandensein von Mengen sein. Die Elemente der einen Menge sollen hierbei auf die Elemente der anderen Menge abgebildet werden. Und jetzt zeige mir konkret, wie bei Deiner Identitätsabbildung $f(x)=x$ zugleich eine Surjektivität, eine Injektivität und eine Bijektivität vorliegen kann. Denn für mich schließen sich diese drei Arten von Abbildungen gegenseitig aus.--Wikilaser (Diskussion) 13:00, 22. Jan. 2019 (CET)

Also gut. Sei die Menge $X=Y=\{1\}$ und die Abbildung die Identität $f(x)=x$. Ich behaupte jetzt $f$ ist surjektiv, injektiv und bijektiv. Wenn das nicht so ist, zeig es mir an einem Beispiel. --88.64.175.50 20:21, 26. Jan. 2019 (CET)

Ich hatte gefragt, wie das bei meinen Beispielen aussieht. Aber gut: Dein Beispiel erfüllt die Kriterien einer Bijektion, jedes Element der einen Menge wird auf genau 1 Element der anderen Menge abgebildet. Bei einer Surjektion müßten mindestens 2 Elemente der einen Menge auf 1 Element der anderen Menge abgebildet werden. Und bei einer Injektion müßte mindestens 1 Element der anderen Menge ohne Abbildung eines Elements der einen Menge bleiben.--Wikilaser (Diskussion) 13:25, 4. Feb. 2019 (CET)

Hi, um dein Beispiel zu bewerten, muss auch eine Abbildung angegeben werden, im Moment stehen da nur 6 Mengen. Leider hast du die Begriffe noch nicht richtig Verstanden. Injektion = Eindeutige Bildelemente, Surjektion = Bild wird komplett getroffen. Präziser wird das in den jeweiligen Artikeln beschrieben, die auch 1A Bilder dazu haben. --188.104.196.3 11:41, 10. Feb. 2019 (CET)

In meinem Beispiel stehen nicht nur dreimal je zwei Mengen, sondern jeweils auch, wie sie aufeinander abgebildet werden. Also eindeutig verständlich. Aber gut:

a) 1 wird auf A abgebildet, 2 auf B, 3 auf C, und 4 wird ebenfalls auf C abgebildet.

b) 1 wird auf A abgebildet, 2 auf B, 3 auf C, jedoch wird kein Element auf D abgebildet.

c) 1 wird auf A abgebildet, 2 auf B, 3 auf C und 4 auf D.--Wikilaser (Diskussion) 09:53, 14. Feb. 2019 (CET)

In deinem Beispiel bleibt a) surjektiv wenn du die 4 weg lässt (Es muss kein Element im Bild geben, das zweimal oder öfter getroffen wird). b) bleibt injektiv wenn du D weg lässt (Es muss kein Element im Bild geben, das nicht getroffen wird). Und zack sind beide bijektiv. --94.217.62.158 11:41, 14. Feb. 2019 (CET)

Warum willst Du etwas weglassen? Es geht nicht um ein Beispiel, das Du Dir zurechtlegst, wie Du es willst (durch Veränderung der jeweiligen Menge), sondern konkret um mein Beispiel. Davon abgesehen halte ich Deinen Einwand für falsch, weil in meinem Beispiel a) entsteht sofort und direkt eine Bijektion, wenn ich die 4 weglasse, und in meinem Beispiel b) entsteht ebenfalls sofort und direkt eine Bijektion, wenn ich D weglasse. Denn eine Bijektion ist eine Abbildung, bei der jedes Element der einen Menge auf genau ein Element der anderen Menge abgebildet wird.--Wikilaser (Diskussion) 23:16, 14. Feb. 2019 (CET)

Hi, deine ursprüngliche Frage war: "Wie können zwei Abbildungen zugleich surjektiv und injektiv sein?" Deine Frage ist auch beantwortet, wenn man eine Abbildung, die zugleich surjektiv und Injektiv ist betrachtet. Da man ja trivial einfach Elemente ersetzen kann und so zwei, drei, beliebig viele erhällt. Also setz dich mal hin und überprüfe exakt die Eigenschaften deiner Abbildung c hinsichtlich in- sur- und bijekivität, dann hast du deine Frage beantwortet. --178.7.101.233 11:15, 16. Feb. 2019 (CET)

Frage erledigt. Ich hatte mich durch die grafischen Abbildungen in den Artikeln "injektiv" und "surjektiv" in die Irre führen lassen. Die Lösung liegt in der Tat in der Definition der Eigenschaften: Injektiv = höchstens jedes Element wird durch die Abbildung getroffen (es kann aber auch sein, daß nicht alle Elemente getroffen werden), surjektiv = jedes Element wird mindestens einmal durch die Abbildung getroffen (es kann aber auch sein, daß eines oder mehrere Elemente mehrmals getroffen werden). Danke für die Hilfe bei der Klärung.

Ich möchte anregen, andere (oder zusätzliche) Grafiken in den jeweiligen Artikeln zu verwenden.--Wikilaser (Diskussion) 19:14, 17. Feb. 2019 (CET)

Frage zur zweiten grafischen Veranschaulichung

Wie können die abgebildeten drei Grafen zueinander surjektiv sein, wenn nicht jeder Punkt des einen Grafen mindestens einmal durch Punkte eines anderen Grafen getroffen wird? Im vorliegenden Fall sehe ich nur, daß einzelne Punkte der drei abgebildeten Grafen jeweils die beiden anderen Grafen treffen. Es geht doch bei der Surjektivität darum, daß jeder Punkt mindestens einmal getroffen wird. Oder ist das bei Grafen anders? Falls ja, warum?--Wikilaser (Diskussion) 10:48, 4. Mär. 2019 (CET)

Gemeint ist nicht, dass die Graphen zueinander surjektiv sind, sondern dass jeder der drei Graphen für sich surjektiv ist. Beispielsweise ist der grüne Graph surjektiv, weil jeder y-Wert mindestens einmal angenommen wird (und ebenso auch der blaue und der rote Graph). --2A02:908:8A8:3AA0:AAFB:5509:46DD:9404 02:32, 18. Feb. 2024 (CET)

Körper endlich erzeugt

... wenn eine Abbildung auf diesen ... surjektiv ist? --2.247.247.148 (ohne (gültigen) Zeitstempel signierter Beitrag von 2.247.247.148 (Diskussion) 15:39, 24. Feb. 2021 (CET))

Das könnte man evtl. im Artikel Erzeugendensystem unterbringen, hier finde ich es nicht sinnvoll.—Hoegiro (Diskussion) 16:41, 25. Feb. 2021 (CET)