Urbild (Mathematik)

ein Begriff im Zusammenhang mit Abbildungen und Funktionen

In der Mathematik ist das Urbild ein Begriff, der im Zusammenhang mit Funktionen verwendet wird. Für eine Funktion ist das Urbild einer Menge jene Teilmenge der Definitionsmenge , deren Elemente auf die vorher festgelegte Untermenge der Zielmenge abgebildet werden. Das Urbild ist also die Antwort auf die Frage: Welche Elemente aus der Definitionsmenge werden auf Elemente der Menge abgebildet?. Man sagt dann auch Urbild von unter

Das Urbild des Elementes oder der einelementigen Teilmenge ist die dreielementige Menge

Das Urbild eines einzelnen Elements der Zielmenge ist die aus allen mit bestehende Teilmenge der Definitionsmenge. Das Urbild der Bildmenge (und natürlich erst recht der ganzen Zielmenge ) ist genau die Definitionsmenge , da Funktionen linkstotal sind, also jedem Element der Definitionsmenge mindestens ein Element der Zielmenge (und genau ein Element der Bildmenge) zuordnen.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Funktion und   eine Teilmenge von  . Dann bezeichnet man die Menge

 

als das Urbild von M unter f.

Ein Urbild ist damit ein Wert der sogenannten Urbildfunktion, die jedem Element   der Potenzmenge   der Zielmenge   das Urbild   als Element der Potenzmenge   der Definitionsmenge   zuordnet.

Das Urbild einer einelementigen Menge   schreibt man auch als

 

und nennt es das Urbild von b unter f. Diese Menge braucht aber nicht einelementig zu sein (sie kann also auch leer sein oder mehr als ein Element enthalten).

Das Urbild eines Elements wird zuweilen auch Faser der Abbildung über diesem Element genannt, insbesondere im Zusammenhang mit Faserbündeln.

BeispieleBearbeiten

Für die Funktion   (ganze Zahlen) mit   gilt:

 
 
 
 
 

EigenschaftenBearbeiten

Injektivität, Surjektivität, BijektivitätBearbeiten

  • Unter einer bijektiven Funktion   ist das Urbild jedes Elements (genau) einelementig. Die Abbildung, die jedem Element von   das (einzige, also eindeutig bestimmte) Element seines Urbildes zuordnet, heißt Umkehrfunktion von  . Man bezeichnet sie (auch – wie die Urbildfunktion) mit  . Das kann leicht zu Missverständnissen führen, wenn man nicht ausführlicher   für die Umkehrfunktion schreibt (wodurch sie dann deutlich von der Urbildfunktion   unterschieden wird).
  • Unter einer injektiven Funktion ist das Urbild jedes Elements höchstens einelementig (also einelementig oder leer).
  • Unter einer surjektiven Funktion ist das Urbild jedes Elements mindestens einelementig (also nichtleer).

Mengenoperationen und -eigenschaftenBearbeiten

Es sei   eine Funktion, und   und   seien Teilmengen von  . Dann gilt:

  •  
  •  
  •  
  •  
    Insbesondere haben also disjunkte Mengen disjunkte Urbilder.
    Die letzten beiden Aussagen (über Vereinigung und Durchschnitt) lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige Familien von Teilmengen verallgemeinern.
  •  
    Dabei bezeichnet   das Komplement   von   in der jeweiligen Grundmenge  .
  •  
  •  

Bild und UrbildBearbeiten

Es sei   eine Funktion,   eine Teilmenge von   und   eine Teilmenge von  . Dann gilt:

  •  
    d. h., es liegt eine Galoisverbindung vor.
  •  
    Ist   injektiv, dann gilt die Gleichheit.
  •  
    Ist   surjektiv, dann gilt die Gleichheit. Hinreichend ist schon  , dass also   eine Teilmenge des Bildes   von   ist.

Urbild und KompositionBearbeiten

Für beliebige Mengen   und beliebige Funktionen   bezeichne   die Komposition von   mit  .

Dann gilt für jede Teilmenge  :

 

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Wiktionary: Urbild – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen