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Definitionsmenge

Teilmenge einer Grundmenge, für die eine wohldefinierte Aussage möglich ist
Die Definitionsmenge dieser Funktion X → Y ist {1, 2, 3}, in diesem Falle die ganze Grundmenge X.

In der Mathematik versteht man unter Definitionsmenge oder Definitionsbereich die Menge mit genau den Elementen, unter denen (je nach Zusammenhang) die Funktion definiert bzw. die Aussage erfüllbar ist. In der Schulmathematik wird die Definitionsmenge oft mit abgekürzt, manchmal wird das auch mit einem Doppelstrich geschrieben.

Definitionsbereich einer FunktionBearbeiten

Eine Funktion   ist eine spezielle Relation, die jedem Element der Definitionsmenge   genau ein Element der Zielmenge   zuweist. Die Definitionsmenge wird mit   bezeichnet. Hat die Funktion einen anderen Namen als   wie z. B.   oder  , dann wird der Definitionsbereich entsprechend mit   oder   bezeichnet.

Die Menge

 

aller Funktionswerte   von   heißt Bild- oder Wertemenge   von   und ist eine Teilmenge der Zielmenge.

Die Grundmenge und die Zielmenge einer Funktion sind wesentliche Teile ihrer Definition. Häufig werden aber die Grundmenge und die Zielmenge einer Funktion nicht mit angegeben, wenn die Funktion auf der maximal möglichen Definitionsmenge gemeint ist (die dann meist eine Teilmenge der reellen Zahlen   oder komplexen Zahlen   ist).

Zwei Funktionen mit gleicher funktionaler Abhängigkeit, aber verschiedenen Grundmengen oder verschiedenen Zielmengen, sind jedoch unterschiedliche Funktionen und können unterschiedliche Eigenschaften haben.

BeispieleBearbeiten

Gegeben sei die Abbildung   mit der Grundmenge   und der Zielmenge  . Dann gilt:   ist eine Funktion mit   und  .

  1. Als Funktion   (also mit Definitionsmenge   und Zielmenge  ) ist   bijektiv, also sowohl surjektiv als auch injektiv.
  2. Als Funktion   (also mit Definitionsmenge   und Zielmenge  ) ist   injektiv, aber nicht surjektiv.
  3. Als Funktion   (also mit Definitionsmenge   und Zielmenge  ) ist   surjektiv, aber nicht injektiv.
  4. Als Funktion   (also mit Definitionsmenge   und Zielmenge  ) ist   weder surjektiv noch injektiv.

Einschränkung und Fortsetzung einer FunktionBearbeiten

Sei   eine Funktion und  ,  . Die Funktion   heißt Einschränkung von  , wenn   für alle   gilt.[1]   heißt in dieser Situation Erweiterung oder Fortsetzung von  .[2]

Die Einschränkung   wird oft als   geschrieben. Diese Notation ist nicht völlig exakt, da die Menge   nicht mit angegeben wird; in den interessanten Fällen wird aber meist   gewählt.

Für eine Funktion   und zwei gegebene Mengen  ,   gibt es höchstens eine Einschränkung   von  ; diese existiert genau dann, wenn die Bildmenge von   Teilmenge von   ist.[3]

Im Gegensatz zur Einschränkung einer Funktion ist die Fortsetzung nicht eindeutig.

BeispielBearbeiten

Gegeben sei die Funktion

 

Mögliche Fortsetzungen auf den Definitionsbereich  , also als Funktionen  , sind beispielsweise sowohl

 

als auch

 

  ist insofern eine „schönere“ Fortsetzung, als   stetig ist,   hingegen nicht. Dies ändert aber nichts daran, dass beide Funktionen korrekte Fortsetzungen sind, da eine eindeutige Fortsetzung in der Funktionsdefinition selbst nicht erhalten ist. Eindeutigkeit ergibt sich erst aus zusätzlichen Forderungen, wie eben Stetigkeit in diesem Beispiel, oder beispielsweise in der Forderung nach einer holomorphen Fortsetzung auf die komplexen Zahlen von einer Funktion, die zunächst nur auf einer Teilmenge der reellen Zahlen definiert ist.

Definitionsbereich einer RelationBearbeiten

Unter dem Definitionsbereich der Relation   mit

 

versteht man die Projektion von   auf  , also jene Teilmenge von Elementen der Quelle  , die als erste Komponenten in Elementen   vorkommen:[4]

 

BeispielBearbeiten

Gegeben sei die Relation   mit

 .

Da für reelle   das Quadrat immer nichtnegativ (größer oder gleich null) ist und umgekehrt für jedes nichtnegative reelle   mindestens eine reelle Zahl   mit   existiert, ist für diese Relation der Definitionsbereich die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen:  .

Definitionsbereich eines TermsBearbeiten

Der Definitionsbereich eines Terms mit   Variablen   und den dazugehörigen Grundmengen   ist die Menge aller n-Tupel  ,   für  , für die der Term in sinnvolle Werte übergeht.[2]

BeispieleBearbeiten

Der Definitionsbereich des Terms   in einer Variablen mit der Grundmenge   ist  , da der Bruch nur für einen von Null verschiedenen Wert des Nenners sinnvoll definiert ist.

Der Definitionsbereich des Terms   in zwei Variablen mit der Grundmenge   ist  , da im reellen Fall die Wurzel nur für nichtnegative Werte sinnvoll definiert ist.

Definitionsbereich von Gleichungen und UngleichungenBearbeiten

Sind   und   Terme, so nennt man

 

eine Gleichung,

 

und

 

und ähnliche Ausdrücke nennt man Ungleichungen. Beim Lösen einer Gleichung bzw. Ungleichung sucht man jene Werte aus dem Grundbereich, für welche die Gleichung bzw. Ungleichung in eine wahre Aussage übergeht. Als Definitionsbereich bezeichnet man jene Teilmenge des Grundbereiches, für die alle in der Gleichung bzw. Ungleichung auftretenden Terme sinnvoll definiert sind, also die Durchschnittsmenge der Definitionsmenge von   und  .[5]

Insbesondere bei komplizierteren Gleichungen kann es vorkommen, dass beim Lösen der Ausgangsgleichung auf eine Gleichung umgeformt wird, die auch Lösungen enthält, die nicht im Definitionsbereich der Ausgangsgleichung enthalten sind. In einem solchen Fall muss also nach dem Lösen der Gleichung überprüft werden, ob die erhaltenen Lösungswerte tatsächlich im Definitionsbereich enthalten sind und gegebenenfalls einige Werte ausgeschieden werden.

BeispielBearbeiten

Es sind die reellen Lösungen der Gleichung

 

gesucht. Da unter der Wurzel nur nichtnegative Werte stehen dürfen, ist der Definitionsbereich der Gleichung  .

Quadrieren der Gleichung liefert

 

bzw.

 .

Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, es gilt zwar  , aber nicht  , die umgeformte Gleichung kann also mehr Lösungen als die Ausgangsgleichung enthalten. Nochmaliges Quadrieren ergibt

 

bzw.

 .

Diese Gleichung hat die beiden Lösungen   und  . Der Wert   ist nicht im Definitionsbereich der Gleichung enthalten und ist somit keine Lösung; der Wert   ergibt in die Ausgangsgleichung eingesetzt eine wahre Aussage und ist somit die einzige Lösung der Gleichung.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Edmund Hlawka, Christa Binder, Peter Schmitt: Grundbegriffe der Mathematik. Prugg Verlag, Wien 1979. ISBN 3-85385-038-3. S. 38 f, Definition 3.13.
  2. a b Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1979. S. 167, Funktion VII.
  3. Edmund Hlawka, Christa Binder, Peter Schmitt: Grundbegriffe der Mathematik. Prugg Verlag, Wien 1979. ISBN 3-85385-038-3. S. 39, Satz 3.13 und Satz 3.14.
  4. Edmund Hlawka, Christa Binder, Peter Schmitt: Grundbegriffe der Mathematik. Prugg Verlag, Wien 1979. ISBN 3-85385-038-3. S. 18.
  5. Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): Lexikon der Mathematik, VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1979. S. 199, Gleichung.