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Die Fortsetzung einer Abbildung ist ein Begriff aus der Mathematik, der insbesondere in der Analysis und der Topologie verwendet wird. Unter einer Fortsetzung einer Abbildung versteht man eine weitere Abbildung, die auf einer Teilmenge ihres Definitionsbereichs mit der gegebenen Abbildung übereinstimmt. Von besonderem Interesse ist es, ob es Fortsetzungen zu stetigen beziehungsweise analytischen Funktionen gibt, die ebenfalls stetig beziehungsweise analytisch sind.

DefinitionBearbeiten

Seien   und   Mengen. Eine Abbildung   heißt Fortsetzung der Abbildung   genau dann, wenn   eine Teilmenge von   ist und   für alle   gilt.[1]

Stetige FortsetzungBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Seien   und   topologische Räume,   ein Teilraum von   und   eine stetige Abbildung. Eine Abbildung   heißt, analog zu obiger Definition, stetige Fortsetzung von  , falls   stetig ist und   für alle   gilt.[2]

BeispieleBearbeiten

  • Die Funktion  , definiert durch  , ist stetig auf ihrem Definitionsbereich   und hat eine stetige Fortsetzung auf ganz  , welche lautet
 
Hier wird die Funktion auf einen weiteren Punkt fortgesetzt und man spricht in diesem speziellen Fall auch von einer stetig behebbaren Definitionslücke.
  • Die Funktion  , definiert durch  , ist stetig auf ihrem Definitionsbereich   und hat eine stetige Fortsetzung auf ganz  . Denn gemäß der Regel von de l’Hospital gilt  , und damit ist
 
eine stetige Fortsetzung von  .
  • Die Funktion  , definiert durch  , ist stetig auf ihrem Definitionsbereich  , besitzt jedoch anders als die vorgenannten Funktionen keine stetige Fortsetzung auf den gesamten Zahlenraum  , da der Grenzwert   nicht existiert.
  • Im mathematischen Bereich der Funktionalanalysis wird die Fourier-Transformation betrachtet. Dies ist eine Abbildung   auf dem Schwartz-Raum. Da der Schwartz-Raum dicht im Raum der quadratintegrierbaren Funktionen   liegt, kann die Fourier-Transformation stetig auf   fortgesetzt werden. Jedoch hat sie auf diesem Raum nicht mehr die übliche Integraldarstellung, die sie auf dem Schwartz-Raum hat.

Fortsetzungssatz von TietzeBearbeiten

Der Fortsetzungssatz von Tietze charakterisiert topologische Räume, in denen stetige Funktionen auf abgeschlossenen Teilmengen immer stetig fortgesetzt werden können. Es sind genau die normalen topologischen Räume, in denen das immer möglich ist. Der Satz kann als Verallgemeinerung des Lemmas von Urysohn verstanden werden. Eine Folgerung des Fortsetzungssatzes von Tietze ist das Fortsetzungslemma.

Lipschitz-stetige FunktionenBearbeiten

Stetige Abbildungen  , wobei  , können die stärkere Eigenschaft der Lipschitz-Stetigkeit haben. Daher stellt sich die Frage, ob man die stetigen Fortsetzungen auch so wählen kann, dass die Lipschitz-Stetigkeit erhalten bleibt. Der Satz von Kirszbraun sagt aus, dass dies sogar mit Erhaltung der Lipschitz-Konstanten möglich ist. Das Lemma von McShane dehnt diese Aussage auf allgemeinere Raumklassen aus.

EinschränkungBearbeiten

Das zur Fortsetzung von Funktionen gegenteilige Konzept ist die Einschränkung des Definitionsbereichs einer Abbildung.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Fortsetzung einer Abbildung. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 1: A bis Eif. Spektrum – Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2000, ISBN 3-8274-0303-0.
  2. Dušan Repovš, Pavel Vladimirovič Semenov: Continuous selections of multivalued mappings. In: Mathematics and its Applications. Band 455. Kluwer Academic, Dordrecht u. a. 1998, ISBN 0-7923-5277-7, S. 23–24.