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Fourier-Transformation

Methode zerlegt kontinuierliche, aperiodische Signale in ein kontinuierliches Spektrum

Die Fourier-Transformation (genauer die kontinuierliche Fourier-Transformation; Aussprache: [fuʁie]) ist eine mathematische Beschreibung aus der Fourier-Analyse, wie kontinuierliche, aperiodische Signale in ein kontinuierliches Spektrum zerlegt werden. Die Funktion, die dieses Spektrum beschreibt, nennt man auch Fourier-Transformierte oder Spektralfunktion. Diese Integraltransformation ist benannt nach dem Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier, der im Jahr 1822 die Fourier-Reihen einführte, ein Analogon der kontinuierlichen Fourier-Transformation für periodische Signale.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Sei   eine integrierbare Funktion. Die (kontinuierliche) Fourier-Transformierte   von   ist definiert durch

 

wobei   ein n-dimensionales Volumenelement sowie   die imaginäre Einheit ist und mit   das Standardskalarprodukt der Vektoren   und   gemeint ist. Die Normierungskonstante ist in der Literatur nicht einheitlich. In der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren und in der Signalverarbeitung ist es üblich, den Faktor   wegzulassen, sodass die Rücktransformation den Vorfaktor   erhält. Die Transformation lautet dann:

 
 

Dies hat den Nachteil, dass im Satz von Parseval ein Vorfaktor auftaucht, was bedeutet, dass die Fouriertransformation dann keine unitäre Abbildung mehr auf   ist. Mit anderen Worten: Die Signalleistung ändert sich dann durch die Fouriertransformation. In der Literatur zu Signalverarbeitung und Systemtheorie findet man auch folgende Konvention, die ohne Vorfaktoren auskommt:

 
 

Die reelle Form der Fourier-Transformation wird als Hartley-Transformation bezeichnet. Für reelle Funktionen   kann die Fourier-Transformation durch die Sinus- und Kosinus-Transformation substituiert werden.

AnwendungsfallBearbeiten

Einen besonderen Anwendungsfall gibt es in der Akustik: Der reine Kammerton   ist eine Sinuswelle mit der Frequenz 440 Hz, also 440 Schwingungen pro Sekunde. Eine ideale Stimmgabel gibt genau dieses Sinussignal ab. Der gleiche Ton gespielt mit einem anderen Musikinstrument (nicht ideale Stimmgabel) ist eine Zusammensetzung/Überlagerung aus Wellen verschiedener Wellenlängen. Die Zusammensetzung dieser Wellen ist eindeutig für die Klangfarbe jedes Musikinstruments. Nur die Welle mit der größten Wellenlänge, der Grundton des Signals, hat dabei die Frequenz 440 Hz. Die anderen Wellen, die Obertöne, haben höhere Frequenzen. Wellen höherer Frequenz können nur bis zu einer dem Alter des Menschen entsprechenden Grenzfrequenz von bis zu 20 kHz auditiv wahrgenommen werden.

An der Fouriertransformierten des Tonsignals kann man direkt die verschiedenen Frequenzen/Wellenlängen der Wellenzusammensetzung ablesen. Diese Eigenschaft kann man beispielsweise für die automatische Erkennung von Tonhöhen und Musikinstrumenten in einem Tonsignal ausnutzen. Für analoge Tonsignale wird die kontinuierliche Fourier-Transformation; für digitale Tonsignale, wie mp3-Audiodateien, wird die diskrete Fourier-Transformation herangezogen. Von Letzterer gibt es auch laufzeitoptimierte Varianten.

Die Schwingungen des Tonsignals eines Instruments können durch Mikrophon und Oszilloskop bildlich dargestellt werden. Dazu gibt es eine anschauliche Einführung[1] in die Fouriertransformierte des Tonsignals eines Horns, einer Klarinette und einer Stimmgabel.

BeispielBearbeiten

Als Beispiel soll das Frequenzspektrum einer gedämpften Schwingung mit ausreichend schwacher Dämpfung untersucht werden. Diese kann durch folgende Funktion beschrieben werden:

 

oder in komplexer Schreibweise:

 

Hier ist   die Amplitude und   die Kreisfrequenz der Schwingung,   die Zeit nach der die Amplitude auf   abgefallen ist und   die Heaviside-Funktion. Das heißt, die Funktion ist nur für positive Zeiten nicht null.

Man erhält

 

EigenschaftenBearbeiten

LinearitätBearbeiten

Die Fourier-Transformation   ist ein linearer Operator. Das heißt, es gilt  .

StetigkeitBearbeiten

Die Fourier-Transformation ist ein stetiger Operator vom Raum der integrierbaren Funktionen   in den Raum der Funktionen  , die im Unendlichen verschwinden. Mit   ist die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet, welche für   verschwinden. Die Tatsache, dass die Fourier-Transformierten im Unendlichen verschwinden, ist auch als Lemma von Riemann-Lebesgue bekannt. Außerdem gilt die Ungleichung

 .

DifferentiationsregelnBearbeiten

Sei   eine Schwartz-Funktion und   ein Multiindex. Dann gilt

  •   und  .
  •  .

FixpunktBearbeiten

Die Dichtefunktion

 

mit   der ( -dimensionalen) Gauß’schen Normalverteilung ist ein Fixpunkt der Fourier-Transformation. Das heißt, es gilt für alle   die Gleichung

 .

Insbesondere ist also   eine Eigenfunktion der Fourier-Transformation zum Eigenwert  . Mit Hilfe des Residuensatzes oder mit Hilfe partieller Integration und Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung kann in diesem Fall das Fourier-Integral   bestimmt werden.

SpiegelsymmetrieBearbeiten

Für   gilt für alle   die Gleichung

 .

Äquivalent lässt sich dies auf dem Schwartzraum   als Operatorgleichung

 

schreiben, wobei

 

den Paritätsoperator bezeichnet.

RücktransformationsformelBearbeiten

Sei   eine integrierbare Funktion derart, dass auch   gilt. Dann gilt die Rücktransformation

 

Diese wird auch Fouriersynthese genannt. Auf dem Schwartz-Raum   ist die Fouriertransformation ein Automorphismus.

FaltungstheoremBearbeiten

Das Faltungstheorem für die Fourier-Transformation besagt, dass die Faltung zweier Funktionen durch die Fourier-Transformation in ihrem Bildraum in eine Multiplikation reeller Zahlen überführt wird. Für   gilt also

 .

Die Umkehrung des Faltungssatzes besagt[2]

 .

Fourier-Transformation von L2-FunktionenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Für eine Funktion   ist die Fouriertransformation mittels eines Dichtheitsargumentes definiert durch

 .

Die Konvergenz ist im Sinne von   zu verstehen und   ist die Kugel um den Ursprung mit Radius  . Für Funktionen   stimmt diese Definition mit der aus dem ersten Abschnitt überein. Da die Fouriertransformation bezüglich des  -Skalarproduktes unitär ist (s. u.) und   in   dicht liegt, folgt, dass die Fouriertransformation ein isometrischer Automorphismus des   ist. Dies ist die Aussage des Satzes von Plancherel.

Hausdorff-Young-UngleichungBearbeiten

Seien   und  . Für   ist   und es gilt

 .

Die Fourier-Transformation   hat also eine Fortsetzung zu einem stetigen Operator  , der durch

 

beschrieben wird. Der Grenzwert ist hier im Sinne von   zu verstehen.

DifferentiationsregelBearbeiten

Falls die Funktion   schwach differenzierbar ist, gibt es eine Differentiationsregel analog zu denen für Schwarzfunktionen. Sei also   eine k-mal schwach differenzierbare L2-Funktion und   ein Multiindex mit  . Dann gilt

 .

Unitäre AbbildungBearbeiten

Die Fourier-Transformation ist bezüglich des komplexen  -Skalarproduktes ein unitärer Operator, das heißt es gilt

 

Damit liegt das Spektrum der Fourier-Transformation auf der Einheitskreislinie. Im eindimensionalen Fall ( ) bilden ferner die Hermite-Funktionen   im Raum   ein vollständiges Orthonormalsystem von Eigenfunktionen zu den Eigenwerten  .[3]

Fourier-Transformation im Raum der temperierten DistributionenBearbeiten

Sei   eine temperierte Distribution, die Fourier-Transformierte   ist für alle   definiert durch

 .

Stattet man den Raum   mit der Schwach-*-Topologie aus, dann ist die Fourier-Transformation eine stetige, bijektive Abbildung auf  . Ihre Umkehrabbildung lautet

 .

Fourier-Transformation von MaßenBearbeiten

Die Fourier-Transformation wird allgemein für endliche Borel-Maße auf   definiert:

 

heißt inverse Fourier-Transformierte des Maßes. Die charakteristische Funktion ist dann die inverse Fourier-Transformierte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Partielle DifferentialgleichungenBearbeiten

In der Theorie der partiellen Differentialgleichungen spielt die Fourier-Transformation eine wichtige Rolle. Mit ihrer Hilfe kann man Lösungen bestimmter Differentialgleichungen finden. Die Differentiationsregel und das Faltungstheorem sind dabei von essentieller Bedeutung. Am Beispiel der Wärmeleitungsgleichung wird nun gezeigt, wie man mit der Fourier-Transformation eine partielle Differentialgleichung löst. Das Anfangswertproblem der Wärmegleichung lautet

 

Hierbei bezeichnet   den Laplace-Operator, der nur auf die  -Variablen wirkt. Anwenden der Fourier-Transformation auf beide Gleichungen bezüglich der  -Variablen und Anwenden der Differentiationsregel ergibt

 

Hierbei handelt es sich nun um eine gewöhnliche Differentialgleichung, die die Lösung

 

hat. Daraus folgt   und aufgrund des Faltungstheorems gilt

 

mit   Daraus folgt

 

Das ist die Fundamentallösung der Wärmegleichung. Die Lösung des hier betrachteten Anfangswertproblems hat daher die Darstellung

 

Tabelle wichtiger Fourier-Transformations-PaareBearbeiten

In diesem Kapitel folgt eine Zusammenstellung wichtiger Fourier-Transformations-Paare.

Signal Fouriertransformierte
Kreisfrequenz
Fouriertransformierte
Frequenz
Hinweise
     
      Zeitverschiebung
      Frequenzverschiebung
      Frequenzskalierung
      Hier ist   eine natürliche Zahl und g eine Schwartz-Funktion.   bezeichnet die  -te Ableitung von g.

Quadratisch integrierbare FunktionenBearbeiten

Signal Fouriertransformierte
Kreisfrequenz
Fouriertransformierte
Frequenz
Hinweise
     
      Die Gaußsche Funktion   ergibt fouriertransformiert wieder dieselbe Funktion. Für die Integrierbarkeit muss   sein.
      Die Rechteckfunktion und die sinc-Funktion ( ).
      Die Rechteckfunktion ist ein idealisierter Tiefpassfilter, und die si-Funktion ist die akausale Stoßantwort eines solchen Filters.
        Die FT der um den Ursprung exponentiell abfallenden Funktion ist eine Lorentzkurve.
     

DistributionenBearbeiten

Signal Fouriertransformierte
Kreisfrequenz
Fouriertransformierte
Frequenz
Hinweise
     
     
     
     
      Hier ist   eine natürliche Zahl und   die  -te Ableitung der Delta-Distribution.
     
     
        ist der Einheitssprung (Heaviside-Funktion).
      Das Signal heißt Dirac-Kamm.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Akustische Wellen - Fourieranalyse- und -synthese | LEIFI Physik. Abgerufen am 5. Juni 2018.
  2. Beweis mittels Einsetzen der inversen Fouriertransformierten, z. B. wie in Tilman Butz: Fouriertransformation für Fußgänger. Ausgabe 7, Springer DE, 2011, ISBN 978-3-8348-8295-0, S. 53, Google Books.
  3. Helmut Fischer, Helmut Kaul: Mathematik für Physiker, Band 2: Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. 2. Aufl., B.G. Teubner, Wiesbaden 2004. ISBN 3-519-12080-1, § 12, Abschn. 4.2, S. 300–301.