Hauptmenü öffnen

In dem Teilgebiet Topologie der Mathematik ist eine abgeschlossene Menge eine Teilmenge eines topologischen Raums, deren Komplement eine offene Menge ist.

Ein einfaches Beispiel ist das Intervall in den reellen Zahlen (mit der Standardtopologie, erzeugt durch die Metrik ). Das Komplement von ist die Vereinigung zweier offener Intervalle, also eine offene Menge, also ist eine abgeschlossene Menge. Deshalb nennt man das Intervall ein abgeschlossenes Intervall. Dagegen ist das Intervall nicht abgeschlossen, denn das Komplement ist nicht offen.

Ob eine Menge abgeschlossen ist oder nicht, hängt von dem Raum ab, in dem sie liegt. Die Menge der rationalen Zahlen mit bildet eine abgeschlossene Menge in den rationalen Zahlen, aber nicht in den reellen Zahlen mit der Standardtopologie. Dies folgt daraus, dass es Folgen mit rationalen Folgengliedern gibt, die zu einer Zahl außerhalb der rationalen Zahlen konvergieren.

Es ist zu beachten, dass der Begriff „offene Menge“ nicht das Gegenteil von „abgeschlossene Menge“ ist: Es gibt Mengen, die weder abgeschlossen noch offen sind, wie das Intervall , und Mengen, die beides sind, wie die leere Menge. Solche Mengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind, werden als abgeschlossene offene Mengen bezeichnet.

Der Begriff der abgeschlossenen Menge lässt sich auf verschiedenen Abstraktionsstufen definieren. Im Folgenden werden hier der anschauliche euklidische Raum, dann metrische Räume und schließlich topologische Räume betrachtet.

Euklidischer RaumBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Ist U eine Teilmenge des n-dimensionalen euklidischen Raums  , dann nennt man U abgeschlossen, falls gilt:

Für jedes   außerhalb von U gibt es ein  , so dass jeder Punkt   mit  , ebenfalls außerhalb U liegt.

ErläuterungBearbeiten

Beachte, dass das ε vom Punkt x abhängt, d. h. für verschiedene Punkte gibt es verschiedene ε. Anschaulich ist die Menge der Punkte, deren Abstand von x kleiner ist als ε, eine Kugel, und zwar nur das Innere ohne die Oberfläche. Man nennt sie deshalb auch eine offene Kugel. (Im   ist diese Kugel das Innere eines Kreises.)

Die Menge aller Punkte, deren Abstand von einem Punkt x kleiner oder gleich einer positiven Zahl r ist, ist auch eine Kugel, man nennt sie abgeschlossene Kugel, da sie die Definition einer abgeschlossenen Menge erfüllt.

EigenschaftenBearbeiten

Ist M eine abgeschlossene Teilmenge des   und   eine Folge von Elementen von M, die im   konvergiert, dann liegt der Grenzwert von   ebenfalls in M. Diese Eigenschaft kann alternativ benutzt werden, um abgeschlossene Teilmengen des   zu definieren.

Jede abgeschlossene Menge U vom   lässt sich als Durchschnitt von abzählbar vielen offenen Mengen darstellen. Zum Beispiel ist das abgeschlossene Intervall [0,1] der Durchschnitt der offenen Intervalle      für alle natürlichen Zahlen n.

Metrischer RaumBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Sei   ein metrischer Raum und   eine Teilmenge von  . Dann nennt man   abgeschlossen, wenn gilt:

Für jedes   aus   gibt es eine reelle Zahl  , so dass für jeden Punkt   aus   gilt: Aus   folgt, dass   in   liegt.

Auch hier hängt die Wahl von   von   ab.

Das ist gleichbedeutend mit folgender Eigenschaft: Ist   eine Folge von Elementen aus U, die in X konvergiert, dann liegt der Grenzwert in U.

Abgeschlossene KugelBearbeiten

In Analogie zum euklidischen Raum nennt man die Menge der Punkte y, deren Abstand d(x,y) zu x kleiner oder gleich ε ist, eine abgeschlossene Kugel. Formal schreibt man

 

und nennt diese Menge die abgeschlossene Kugel in X mit Mittelpunkt x und reellem Radius r > 0.

Bei der abgeschlossenen Kugel wird der Rand bzw. die Hülle der Kugel mit einbezogen: Alle y der Grundmenge X die zum Mittelpunkt x einen Abstand haben, der kleiner oder gleich r ist, gehören zur Kugel. (Beachte die im Artikel Norm (Mathematik) gegebenen Beispiele, dass eine Kugel bezüglich einer Metrik nicht immer „kugelförmig“ bzw. „kreisförmig“ ist.)

Die Definition einer abgeschlossenen Menge lässt sich nun so schreiben:

Sei (X,d) ein metrischer Raum. Dann heißt eine Teilmenge U von X abgeschlossen, falls gilt:

 

Diese Definition ist eine Verallgemeinerung der Definition für euklidische Räume, denn jeder euklidische Raum ist ein metrischer Raum, und für euklidische Räume stimmen die Definitionen überein.

BeispieleBearbeiten

Betrachtet man die reellen Zahlen   mit der üblichen euklidischen Metrik, so sind die folgenden Beispiele abgeschlossene Mengen:

  • Das oben genannte abgeschlossene Intervall  , das sind alle Zahlen zwischen 0 und 1 einschließlich. Dieses Intervall ist auch ein Beispiel für eine abgeschlossene Kugel in  : Der Mittelpunkt ist 1/2, der Radius ist 1/2.
  •   selbst ist abgeschlossen.
  • Die leere Menge ist abgeschlossen.
  • Die Menge   der rationalen Zahlen ist abgeschlossen in  , aber nicht abgeschlossen in  .
  • Das Intervall   ist nicht abgeschlossen in   (  ist die Kreiszahl Pi), die Menge aller rationalen Zahlen   mit   ist dagegen abgeschlossen in  .
  • Endliche Mengen sind stets abgeschlossen.
  • Als nicht-triviales Beispiel kann man eine offene Grundmenge nehmen, z. B.  . Auf dieser Menge ist das Intervall   selbst abgeschlossen, da jede Menge in sich abgeschlossen ist.

Im   kann man sich abgeschlossene Mengen vorstellen als Mengen, die ihren Rand enthalten.

EigenschaftenBearbeiten

 
Abgeschlossene Kugeln sind abgeschlossene Mengen

Jede abgeschlossene Kugel ist eine abgeschlossene Menge. Der Beweis dazu wird von nebenstehender Abbildung veranschaulicht: Zum Punkt   außerhalb der abgeschlossenen Kugel   findet man ein  , nämlich  , so dass   ganz außerhalb von   liegt. Analog sieht man an dieser Darstellung, dass jede offene Kugel offen ist.

Die Vereinigung von zwei abgeschlossenen Mengen ist wieder eine abgeschlossene Menge. Daraus kann man folgern, dass die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist. Die Vereinigung unendlich vieler abgeschlossener Mengen muss jedoch nicht abgeschlossen sein. Vereinigt man alle einelementigen Mengen   für   ist die resultierende Menge weder offen noch abgeschlossen.

Der Durchschnitt beliebig vieler (also auch unendlich vieler) abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Topologischer RaumBearbeiten

Um abgeschlossene Mengen in einem noch allgemeineren Kontext zu definieren, muss man das Konzept der Kugel fallen lassen. Man bezieht sich stattdessen nur auf die Offenheit des Komplements.

Ist   ein topologischer Raum und   eine Teilmenge von  , dann heißt   abgeschlossen, wenn das Komplement   eine offene Menge ist.

Diese Definition ist eine Verallgemeinerung der Definition für metrische Räume.

Abgeschlossene HülleBearbeiten

Für jede Teilmenge   eines euklidischen, metrischen oder topologischen Raumes gibt es stets eine kleinste abgeschlossene Obermenge von  , diese heißt abgeschlossene Hülle, auch Abschließung oder Abschluss von  . Man kann die abgeschlossene Hülle entweder als Durchschnitt aller abgeschlossenen Obermengen von   konstruieren oder als Menge aller Grenzwerte aller konvergenten Netze, die in   liegen. Auch eine analoge Charakterisierung mit Hilfe der Filterkonvergenz ist möglich. Man beachte allerdings, dass es in allgemeinen topologischen Räumen nicht mehr reicht, nur Grenzwerte von Folgen zu betrachten.

Der Rand einer TeilmengeBearbeiten

Sei   eine Teilmenge eines topologischen Raumes. Dann ist es möglich, den Rand von   zu definieren als den Durchschnitt der abgeschlossenen Hülle von   mit der abgeschlossenen Hülle des Komplements von   (oder alternativ als die abgeschlossene Hülle von   ohne das Innere von  ). Ein Punkt liegt also auf dem Rand von  , wenn in jeder Umgebung sowohl Punkte aus   als auch Punkte aus dem Komplement von   liegen. Dieser Rand-Begriff stimmt in metrischen und euklidischen Räumen mit dem intuitiven Begriff eines Randes überein. In einem topologischen Raum gilt dann allgemein:

Eine Menge   ist genau dann abgeschlossen, wenn sie ihren Rand enthält.

LiteraturBearbeiten