Schwartz-Raum

Der Schwartz-Raum ist ein Funktionenraum, der im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht wird. Benannt ist dieser nach dem Mathematiker Laurent Schwartz, der zentrale Ergebnisse in der Distributionentheorie lieferte, wobei auch der Schwartz-Raum eine wichtige Rolle spielte. Die Elemente des Schwartz-Raums werden Schwartz-Funktionen genannt. Eine Besonderheit dieses Raumes ist, dass die Fouriertransformation einen linearen Automorphismus auf diesem Raum bildet.

DefinitionBearbeiten

Eine Funktion   heißt Schwartz-Funktion oder schnell-fallend, wenn sie beliebig oft stetig differenzierbar ist, und wenn für alle Multiindizes   die Funktion   auf   beschränkt ist, wobei   die  -te Ableitung kennzeichnet.

Der Vektorraum aller Schwartz-Funktionen heißt Schwartz-Raum und wird mit   bezeichnet. In aller Kürze gilt also

 

Der Schwartz-Raum ist ein metrisierbarer lokalkonvexer Raum, welcher durch die Familie von Halbnormen

 

induziert wird.

BeispieleBearbeiten

  • Die Funktionen   sind für   Schwartz-Funktionen auf  .
  • Jede beliebig oft differenzierbare Funktion mit kompaktem Träger ist eine Schwartz-Funktion. Der Vektorraum der Testfunktionen mit kompaktem Träger   ist also ein echter Teilraum des Schwartz-Raums.
  • Die hermiteschen Funktionen sind ebenfalls Schwartz-Funktionen.

EigenschaftenBearbeiten

  • Der Schwartz-Raum ist vollständig bezüglich der Topologie (beziehungsweise der Metrik), die durch die Familie der Halbnormen   induziert wird, und ist somit ein Fréchet-Raum. Er hat auch die Montel-Eigenschaft.
  • Die Fouriertransformation bildet einen linearen Automorphismus auf dem Schwartz-Raum.
  • Wie bei den Beispielen erwähnt ist der Raum der glatten Funktionen mit kompaktem Träger ein Unterraum des Schwartz-Raums. Dieser liegt sogar dicht im Schwartz-Raum.[1]
  • Der Schwartz-Raum ist separabel.
  •   für  .
  • Für   liegt der Schwartz-Raum   dicht im Raum der p-integrierbaren Funktionen  [1]
  • Mithilfe dieses Dichtheitsargumentes kann man die Fourier-Transformation auf dem Hilbertraum   definieren.

Temperierte DistributionenBearbeiten

Eine stetige, lineare Abbildung   heißt temperierte Distribution. Die Menge aller temperierten Distributionen wird mit   bezeichnet. Dies ist der topologische Dualraum zu  .

LiteraturBearbeiten

  • Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Man Wah Wong: An introduction to pseudo-differential operator. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, S. 10–11.