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Mehrdimensionale Normalverteilung

Dichte der bivariaten Normalverteilung im dreidimensionalen Raum

Die mehrdimensionale oder multivariate Normalverteilung ist ein Typ multivariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen und stellt eine Verallgemeinerung der (eindimensionalen) Normalverteilung auf mehrere Dimensionen dar.[1] Eine zweidimensionale Normalverteilung wird auch bivariate Normalverteilung genannt.

Bestimmt wird eine multivariate Normalverteilung durch zwei Verteilungsparameter – den Vektor der Erwartungswerte der eindimensionalen Komponenten und durch die Kovarianzmatrix , welche den Parametern und der eindimensionalen Normalverteilungen entsprechen.

Multivariat normalverteilte Zufallsvariablen treten als Grenzwerte bestimmter Summen unabhängiger mehrdimensionaler Zufallsvariablen auf. Dies ist die Verallgemeinerung des zentralen Grenzwertsatz zum mehrdimensionalen zentralen Grenzwertsatz.

Weil sie entsprechend dort auftreten, wo mehrdimensionale zufällige Größen als Überlagerung vieler voneinander unabhängiger Einzeleffekte angesehen werden können, haben sie für die Praxis eine große Bedeutung.

Aufgrund der sogenannten Reproduktionseigenschaft der multivariaten Normalverteilung lässt sich die Verteilung von Summen (und Linearkombinationen) multivariat normalverteiler Zufallsvariabler konkret angeben, was auf dem Gebiet der multivariaten Statistik eine Rolle spielt.

Inhaltsverzeichnis

Die multivariate Normalverteilung: allgemeiner FallBearbeiten

 
10000 Stichproben einer zweidimensionalen Normalverteilung mit  ,   und ρ = 0.7

Eine  -dimensionale reelle Zufallsvariable   ist normalverteilt mit Erwartungswertvektor   und (positiv definiter) Kovarianzmatrix  , wenn sie eine Dichtefunktion der Form

 

besitzt. Man schreibt

 

Für die zugehörige Verteilungsfunktion   gibt es keine geschlossene Formel. Die entsprechenden Integrale müssen numerisch berechnet werden.

Der Wert im Exponentialteil der Dichtefunktion   entspricht der Mahalanobis-Distanz, welche die Distanz vom Testpunkt   zum Mittelwert   darstellt. Im Vergleich mit der Dichtefunktion der eindimensionalen Normalverteilung spielt bei der multivariaten Normalverteilung   die Rolle von  .

Die multivariate Normalverteilung hat die folgenden Eigenschaften:

  • Die affine Transformation   mit einer Matrix   (mit  ) und   ist  -dimensional normalverteilt:  . Dies gilt aber nach der hier gegebenen Definition nur, wenn   nicht-singulär ist, also eine nicht-verschwindende Determinante hat.
  • Die affine Transformation
 
standardisiert den Zufallsvektor  : es ist   (mit Einheitsmatrix  ).
  •   kann auch eine singuläre Kovarianzmatrix besitzen. Man spricht dann von einer degenerierten oder singulären multivariaten Normalverteilung. In diesem Fall existiert keine Dichtefunktion.
  • Bedingte Verteilung bei partieller Kenntnis des Zufallsvektors: Bedingt man einen multivariat normalverteilten Zufallsvektor auf einen Teilvektor, so ist das Ergebnis selbst wieder multivariat normalverteilt, für
 
gilt
 ,
insbesondere hängt der Erwartungswert linear vom Wert von   ab und die Varianz ist unabhängig vom Wert von  .

Die Randverteilung der multivariaten NormalverteilungBearbeiten

 
Bivariate Normalverteilung mit Randverteilungen

Sei   multivariat normalverteilt. Für eine beliebige Partition   mit   und  ,  , gilt, dass die Randverteilungen   und   (multivariate) Normalverteilungen sind.

Die Umkehrung gilt allerdings nicht, wie folgendes Beispiel zeigt:

Sei   und sei   definiert durch

 

wobei  . Dann ist ebenso   und

 

Demnach ist die Kovarianz (und damit die Korrelation) von   und   gleich   genau dann, wenn  . Aber   und   sind nach Definition nicht unabhängig, da   immer gleich   ist. Daher ist insbesondere   nicht multivariat normalverteilt.

Die p-dimensionale StandardnormalverteilungBearbeiten

 
Dichte der zweidimensionalen Standardnormalverteilung

Das Wahrscheinlichkeitsmaß auf  , das durch die Dichtefunktion

 

definiert wird, heißt Standardnormalverteilung der Dimension  . Die  -dimensionale Standardnormalverteilung ist abgesehen von Translationen (d. h. Erwartungswert  ) die einzige multivariate Verteilung, deren Komponenten stochastisch unabhängig sind und deren Dichte zugleich rotationssymmetrisch ist.

Momente und KumulantenBearbeiten

Wie im univariaten Fall, sind alle Momente der multivariate Normalverteilung durch die ersten beiden Momente definiert. Alle Kumulanten außer den ersten beiden sind 0. Die ersten beiden Kumulanten sind dabei der Mittelwert   und die Kovarianz  . In Bezug auf das multivariate Momentenproblem hat die Normalverteilung die Eigenschaft, dass sie durch ihre Momente eindeutig definiert ist. Das heißt, wenn alle Momente einer multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilung existieren und den Momenten einer multivariaten Normalverteilung entsprechen, ist die Verteilung die eindeutige multivariate Normalverteilung mit diesen Momenten.[2]

Dichte der zweidimensionalen NormalverteilungBearbeiten

Die Dichtefunktion der zweidimensionalen Normalverteilung mit Mittelwert = (0,0),   und Korrelationskoeffizient   ist

 
 
Jeweils 10.000 Stichproben zweidimensionaler Normalverteilungen mit ρ = −0.8, 0, 0.8 (alle Varianzen sind 1).

Im allgemeineren zweidimensionalen Fall mit Mittelwert = (0,0) und beliebigen Varianzen ist die Dichtefunktion

 

und den allgemeinsten Fall mit Mittelwert =   bekommt man durch Translation (ersetze   durch   und   durch  ).

Beispiel für eine multivariate NormalverteilungBearbeiten

Betrachtet wird eine Apfelbaumplantage mit sehr vielen gleich alten, also vergleichbaren Apfelbäumen. Man interessiert sich für die Merkmale Größe der Apfelbäume, die Zahl der Blätter und die Erträge. Es werden also die Zufallsvariablen definiert:

 : Höhe eines Baumes [m];  : Ertrag [100 kg];  : Zahl der Blätter [1000 Stück].

Die Variablen sind jeweils normalverteilt wie

 

Die meisten Bäume sind also um 4 ± 1 m groß, sehr kleine oder sehr große Bäume sind eher selten. Bei einem großen Baum ist der Ertrag tendenziell größer als bei einem kleinen Baum, aber es gibt natürlich hin und wieder einen großen Baum mit wenig Ertrag. Ertrag und Größe sind korreliert, die Kovarianz beträgt   und der Korrelationskoeffizient  .

Ebenso ist   mit dem Korrelationskoeffizienten  , und   mit dem Korrelationskoeffizienten  .

Fasst man die drei Zufallsvariablen im Zufallsvektor   zusammen, ist   multivariat normalverteilt. Dies gilt allerdings nicht im Allgemeinen (vgl. Die Randverteilung der multivariaten Normalverteilung). Im vorliegenden Fall gilt dann für die gemeinsame Verteilung von  

 

und

 

Die entsprechende Korrelationsmatrix ist

 

Stichproben bei multivariaten VerteilungenBearbeiten

In der Realität werden in aller Regel die Verteilungsparameter einer multivariaten Verteilung nicht bekannt sein. Diese Parameter müssen also geschätzt werden.

Man zieht eine Stichprobe vom Umfang  . Jede Realisation   des Zufallsvektors   könnte man als Punkt in einem  -dimensionalen Hyperraum auffassen. Man erhält so die  -Datenmatrix   als

 , wobei  

die in jeder Zeile die Koordinaten eines Punktes enthält.

Der Erwartungswertvektor wird geschätzt durch den Mittelwertvektor der   arithmetischen Mitteln der Spalten von  

 

mit den Komponenten

 

Für die Schätzung der Kovarianzmatrix erweist sich die bezüglich der arithmetischen Mittelwerte zentrierte Datenmatrix   als nützlich. Sie berechnet sich als

 

mit den Elementen  , wobei   den Einsvektor, einen Spaltenvektor der Länge   mit lauter Einsen, darstellt. Es wird also bei allen Einträgen das arithmetische Mittel der zugehörigen Spalte subtrahiert.

Die  -Kovarianzmatrix hat die geschätzten Komponenten

 

Sie ergibt sich als

 

Die Korrelationsmatrix   wird geschätzt durch die paarweisen Korrelationskoeffizienten

 

auf ihrer Hauptdiagonalen stehen Einsen.

Beispiel zu StichprobenBearbeiten

Es wurden 10 Apfelbäume zufällig ausgewählt und jeweils 3 Eigenschaften gemessen:  : Höhe eines Baumes [m];  : Ertrag [100 kg];  : Zahl der Blätter [1000 Stück]. Diese 10 Beobachtungen werden in der Datenmatrix   zusammengefasst:

 

Die Mittelwerte berechnen sich, wie beispielhaft an   gezeigt, als

 

Sie ergeben den Mittelwertvektor

 

Für die zentrierte Datenmatrix   erhält man die zentrierten Beobachtungen, indem von den Spalten der entsprechende Mittelwert abzogen wird:

 

also

 

Man berechnet für die Kovarianzmatrix die Kovarianzen, wie im Beispiel,

 

und entsprechend die Varianzen

 

so dass sich die Kovarianzmatrix

 

ergibt.

Entsprechend erhält man für die Korrelationsmatrix zum Beispiel

 

bzw. insgesamt

 

Erzeugung mehrdimensionaler, normalverteilter ZufallszahlenBearbeiten

Eine oft verwendete Methode zur Erzeugung eines Zufallsvektors   einer  -dimensionalen Normalverteilung mit Mittelwertvektor   und (symmetrischer und positiv definiter) Kovarianzmatrix   kann wie folgt angegeben werden:

  1. Bestimme eine Matrix  , so dass  . Dazu kann die Cholesky-Zerlegung von   oder eine Quadratwurzel von   verwendet werden.
  2. Sei   ein Vektor, dessen   Komponenten stochastisch unabhängige, standardnormalverteilte Zufallszahlen sind. Diese können beispielsweise mit Hilfe der Box-Muller-Methode generiert werden.
  3. Mit der affinen Transformation   ergibt sich die gewünschte  -dimensionale Normalverteilung.

AnmerkungenBearbeiten

  1. Mehrdimensionale und multivariate Normalverteilung werden in diesem Artikel synonym verwendet. Bei Hartung/Elpelt: Multivariate Statistik haben sie aber (in Kapitel 1, Abschnitt 5) unterschiedliche Bedeutungen: hier ist die multivariate Normalverteilung eine Matrix-Verteilung.
  2. Kleiber, Stoyanov: Multivariate distributions and the moment problem, Journal of Multivariate Analysis, Volume 113, January 2013, Seiten 7–18.

LiteraturBearbeiten

  • Mardia, KV, Kent, JT, Bibby, JM: Multivariate Analysis, New York 1979
  • Fahrmeir, Ludwig, Hamerle, Alfred, Tutz, Gerhard (Hrsg.): Multivariate statistische Verfahren, New York 1996
  • Hartung, Joachim, Elpelt, Bärbel: Multivariate Statistik, München, Wien 1999
  • Flury, Bernhard, A first course in multivariate statistics, New York, 1997.