Multinomialverteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik

Die Multinomialverteilung oder Polynomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung und kann als multivariate Verallgemeinerung der Binomialverteilung aufgefasst werden. Sie hat in der Bayesschen Statistik als konjugierte A-priori-Verteilung die Dirichlet-Verteilung.

Definition und ModellBearbeiten

Seien   und   mit  . Dann ist die Zähldichte der Multinomialverteilung   gegeben durch

 .

Hierbei ist   der Multinomialkoeffizient.

Anwendung und MotivationBearbeiten

Die Multinomialverteilung kann ausgehend von einem Urnenmodell mit Zurücklegen motiviert werden. In einer Urne sind   Sorten Kugeln. Der Anteil der Sorten Kugeln in der Urne ist  . Der Urne wird  -mal jeweils eine Kugel entnommen, ihre Eigenschaft (Sorte) notiert und die Kugel danach wieder in die Urne zurückgelegt.

Man interessiert sich nun für die Anzahl   der Kugeln einer jeden Sorte   in dieser Stichprobe. Da   der Multinomialverteilung folgt, besitzt die Stichprobe   die Wahrscheinlichkeit:

 .

Nimmt man eine Urne mit   Sorten Kugeln mit jeweils einer Kugel pro Sorte, so erhält man den klassischen Würfel: Man wirft diesen  -mal, hat dabei   mögliche Ausgänge und interessiert sich dafür, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass   gerade  -mal auftritt,   gerade  -mal und so weiter. Weiter beschreiben die jeweiligen   die Wahrscheinlichkeiten der Würfelflächen und somit, ob es sich um einen fairen oder unfairen Würfel handelt.

EigenschaftenBearbeiten

ErwartungswertBearbeiten

Für jedes   ist die Zufallsvariable   binomialverteilt mit den Parametern   und  , hat also den Erwartungswert

 

VarianzBearbeiten

Für die Varianz gilt

 .

Kovarianz und KorrelationskoeffizientBearbeiten

Die Kovarianz zweier Zufallsvariablen   und   mit   berechnet sich als

 ,

und für den Korrelationskoeffizienten (nach Pearson) folgt:

 .

Wahrscheinlichkeitserzeugende FunktionBearbeiten

Die multivariate wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist

 

BeispielBearbeiten

In einer Schulklasse sind 31 Schüler, 12 aus Dorf A, 11 aus Dorf B und 8 aus Dorf C. Jeden Tag wird ein Schüler ausgelost, der die Tafel wischen muss. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Woche kein Schüler aus Dorf A, zwei Schüler aus Dorf B und 3 Schüler aus Dorf C die Tafel wischen müssen? Es ist   und  , da jeder Schüler gleich wahrscheinlich gezogen werden soll. Dann ist  

Beziehung zu anderen VerteilungenBearbeiten

Beziehung zur BinomialverteilungBearbeiten

Im Spezialfall   ergibt sich die Binomialverteilung, genauer ist   die gemeinsame Verteilung von   und   für eine  -verteilte Zufallsvariable  .

Beziehung zur multivariaten hypergeometrischen VerteilungBearbeiten

Die Multinomialverteilung und die multivariate hypergeometrische Verteilung sind miteinander verwandt, da sie aus demselben Urnenmodell hervorgehen. Einziger Unterschied ist, dass bei der multivariaten hypergeometrischen Verteilung ohne Zurücklegen gezogen wird. Die multivariate hypergeometrische Verteilung lässt sich unter gewissen Umständen durch die Multinomialverteilung approximieren, siehe hierfür den Artikel über die multivariate hypergeometrische Verteilung.

LiteraturBearbeiten

  • Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 8. Auflage, Vieweg, 2005. ISBN 978-3-834-80063-3
  • Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4. Auflage, de Gruyter, 2009. ISBN 978-3-110-21526-7
  • Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie: eine fundierte Einführung mit über 500 realitätsnahen Beispielen und Aufgaben, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2003, ISBN 978-3-528-03183-1.