Die Erlang-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, eine Verallgemeinerung der Exponential-Verteilung und ein Spezialfall der Gamma-Verteilung. Sie wurde von Agner Krarup Erlang für die statistische Modellierung der Intervall-Längen zwischen Telefonanrufen entwickelt.

Die Erlang-Verteilung wird in der Warteschlangentheorie verwendet, um die Verteilung der Zeitspanne zwischen Ereignissen eines Poisson-Prozesses, beispielsweise der Ankunft von Kunden, zu erfassen, sowie in der Qualitätssicherung zur Beschreibung von Lebensdauern. In Callcentern wird diese Verteilung für die Personaleinsatzplanung genutzt, um die Anzahl der benötigten Agents auf Grund des erwarteten Anrufvolumens im Zeitintervall zu bestimmen.

Die Erlang-Verteilungsdichte liefert die Verteilung der Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach Verstreichen des Orts- oder Zeitabstands das -te Ereignis eintritt, wenn man Ereignisse pro Einheitsintervall erwartet (siehe Herleitung). Sie beschreibt eine Kette von nacheinander erfolgenden Ereignissen. Der wahrscheinlichste Abstand bis zum -ten Ereignis (Modus) ist kleiner als der Mittelwert (Erwartungswert), weil kürzere Ereignisabstände häufiger auftreten. Füllt man die der Größe nach sortierten Abstände der jeweiligen Einzelereignisse in ein Histogramm, so zeigt dieses dementsprechend eine Exponential-Verteilung.[1]

Dichte der Erlang-Verteilung,

DefinitionBearbeiten

Die Erlang-Verteilung   mit den Parametern   (einer positiven reellen Zahl) und   (einer natürlichen Zahl) ist eine spezielle Gammaverteilung, die durch die Dichtefunktion

 

festgelegt wird, und die sich von der allgemeinen Gammaverteilung durch die Beschränkung auf natürliche Zahlen im zweiten Parameter unterscheidet.

Für eine Erlang-verteilte Zufallsvariable   ist die Wahrscheinlichkeit, dass   innerhalb des Intervalls   liegt, durch die Verteilungsfunktion

 

gegeben, wobei   bzw.   die unvollständige Gammafunktion bezeichnet.

Herleitung und InterpretationBearbeiten

Die Erlang-Verteilung kann interpretiert werden als die Wahrscheinlichkeitsdichte, nach einer Zeit   das  -te Ereignis zu erhalten. Dabei seien die Ereignisse poissonverteilt.

Betrachten wir die Wahrscheinlichkeit, dass das  -te Ereignis im Zeitintervall   ist. Dies ist offensichtlich die Wahrscheinlichkeit, dass   Ereignisse im Intervall   sind, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Ereignis in   ist. Da die Ereignisse poissonverteilt und unabhängig in disjunkten Intervallen sind, ist dies:

 .

Dies ist in erster Ordnung  :

 ,

so dass sich die Erlang-Verteilung ergibt als:

 .

EigenschaftenBearbeiten

Da eine Erlang-verteilte Zufallsvariable   die Summe von   unabhängig und identisch mit Parameter   exponentialverteilten Zufallsvariablen   ist, ergeben sich die folgenden Eigenschaften.

ErwartungswertBearbeiten

Die Erlang-Verteilung besitzt den Erwartungswert

 

VarianzBearbeiten

Analog ergibt sich die Varianz zu

 

ModusBearbeiten

Der Modus, das Maximum der Dichte, liegt bei

 

Charakteristische FunktionBearbeiten

Aus der charakteristischen Funktion einer exponentialverteilten Zufallsvariablen erhält man die einer Erlang-verteilten Zufallsvariable:

 

Momenterzeugende FunktionBearbeiten

Analog ergibt sich für die momenterzeugende Funktion

 

EntropieBearbeiten

Die Entropie der Erlang-Verteilung beträgt

 

wobei ψ(p) die Digamma-Funktion bezeichnet.

Beziehungen zu anderen VerteilungenBearbeiten

Beziehung zur ExponentialverteilungBearbeiten

  • Die Erlang-Verteilung   ist eine Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, denn sie geht für   in diese über  .
  • Es seien   viele, alle mit dem gleichen Parameter   exponentialverteilte Zufallsvariablen  , die stochastisch unabhängig sind, gegeben. Dann ist die Zufallsvariable   Erlang-verteilt mit den Parametern   und    .

Beziehung zur Poisson-VerteilungBearbeiten

  • Für einen Poisson-Prozess wird die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem definierten Zeitpunkt mittels Poisson-Verteilung   bestimmt, die zufällige Zeit bis zum  -ten Ereignis ist Erlang-verteilt. Im Fall   geht diese Erlang-Verteilung in eine Exponentialverteilung über, mit der die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen bestimmt werden kann.
  • Die Erlang-Verteilung ist die zur Poisson-Verteilung konjugierte Verteilung.

Beziehung zur stetigen GleichverteilungBearbeiten

Eine Erlang-Verteilung kann als Faltung von   gleichmäßig stetig verteilten Funktionen   erzeugt werden:

 

Beziehung zur Gamma-VerteilungBearbeiten

Die Erklärung dieser Beziehung findet man am Anfang des Artikels in der Definition.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Frodesen, Skjeggestad, Tofte: Probability and Statistics in Particle Physics, Universitetsforlaget, Bergen Oslo Tromsø S. 98.