Fréchet-Verteilung

Die Fréchet-Verteilung ist eine absolutstetige Verteilung über den positiven reellen Zahlen, die einen echt positiven reellen Skalierparameter nutzt. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Verteilungs und DichtefunktionBearbeiten

Die Fréchet-Verteilung besitzt für einen reellen Parameter   >0 die Verteilungsfunktion

 

Die dazugehörige Dichtefunktion ist

 

Momente und MedianBearbeiten

Im Folgenden sei   eine  -Fréchet-verteilten Zufallsvariable und   die Gamma-Funktion.

MedianBearbeiten

Der Median ist

 

Existenz von MomentenBearbeiten

Die k-ten Momente der Fréchet-Verteilung existieren genau dann, wenn  .

ErwartungswertBearbeiten

Der Erwartungswert ist

 .

VarianzBearbeiten

Die Varianz ist

 

SchiefeBearbeiten

Die Schiefe ist

 

KurtosisBearbeiten

Die Kurtosis ist

 

Zusammenhang mit anderen VerteilungenBearbeiten

Ist   Fréchet-verteilt mit Parameter  , so ist   Gumbel-verteilt mit Parametern   und  .

Nach dem Theorem von Fisher-Tippett kann eine standardisierte, nicht-degenerierte Extremwertverteilung nur gegen eine der drei generalisierten Extremwertverteilungen (GEV) konvergieren, von denen eine die Fréchet-Verteilung ist.

AnwendungBearbeiten

Sie ist daher eine wichtige Verteilung zur Bestimmung von Risiken in der Finanzstatistik, wie zum Beispiel des Value at Risk und des Expected Shortfall.

LiteraturBearbeiten

  • J. Franke, W. Härdle, C. M. Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 2. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 2008, ISBN 978-3-540-76269-0.
  • J. Franke, C. M. Hafner, W. Härdle: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte. 2. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 2004, ISBN 3-540-40558-5.

EinzelnachweiseBearbeiten