Cantor-Verteilung

Die Cantor-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die sich dadurch auszeichnet, dass sie weder eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion noch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion besitzt, sondern stetigsingulär ist. Die dazugehörige Verteilungsfunktion wird als Cantorfunktion oder auch Teufelstreppe bezeichnet.

Plot der Cantorfunktion (10 Iterationen)

KonstruktionBearbeiten

Die Cantorverteilung   (mit   als Borelsche σ-Algebra) kann nicht einfach explizit angegeben werden. Sie muss rekursiv konstruiert werden, ähnlich wie die Cantormenge.

1. VarianteBearbeiten

Wenn man vom gleichverteilten Maß auf der Menge   ausgeht, erhält man auf der Menge   ein Produktmaß. Dieses Maß   lässt sich so interpretieren: Man betrachtet ein Experiment, in dem unendlich oft eine faire Münze geworfen wird; Elemente von   lassen sich als Ausgänge des Experiments interpretieren (die Folge   bedeutet zum Beispiel, dass immer abwechselnd Kopf und Zahl aufgetreten sind). Das Maß   weist einer Teilmenge von   nun ihre Wahrscheinlichkeit zu. Zum Beispiel besagt das starke Gesetz der großen Zahlen, dass die Menge   der „gleichverteilten“ Folgen Wahrscheinlichkeit 1 hat, wobei   die folgenden Menge ist:

 

Nun lässt sich die Cantormenge   – wie im dortigen Artikel ausgeführt – bijektiv auf   abbilden. Das oben genannte Maß   lässt sich vermöge dieser Bijektion in ein Wahrscheinlichkeitsmaß   auf der Cantormenge übertragen. (Eine alternative Beschreibung von   ergibt sich als Hausdorffmaß zur Dimension  .)

Dieses Wahrscheinlichkeitsmaß   ist die Cantor-Verteilung, ein Beispiel für ein Maß, dessen Verteilungsfunktion zwar stetig, aber nicht absolut-stetig ist. Die Verteilungsfunktion

 

heißt Cantorfunktion (auch „cantorsche Treppenfunktion“). Auf jedem Intervall im Komplement der Cantormenge ist diese Funktion konstant; auf dem Intervall   hat sie zum Beispiel den Wert 1/2, und auf dem Intervall   hat sie den Wert 1/4.

2. VarianteBearbeiten

Bei dieser Konstruktion wird die Cantorfunktion   konstruiert, welche nach dem Korrespondenzsatz die Cantor-Verteilung   eindeutig bestimmt.

Sei   das System aller Teilmengen von  , welche als Vereinigung von endlich vielen disjunkten abgeschlossenen nichtleeren Intervallen dargestellt werden kann. Ferner sei   gegeben durch (mit  )

 

(Dies entspricht der bereits angesprochen rekursiven Drittelung der Intervalle (Intervall-Länge:  ), wobei nur das untere und das obere Drittel mitgenommen werden, während das mittlere Drittel „ausgewischt“ wird.)

Sei weiterhin mit  

 

Schließlich sei die Cantormenge   definiert durch

 

Nun wird das Maß   folgendermaßen definiert:

 ,

wobei   das eindimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet.   ist offensichtlich ein Wahrscheinlichkeitsmaß, die dazugehörige Verteilungsfunktion sei  . Für   gilt:

 

Für   gilt insbesondere   und  .

Da   gleichmäßig konvergent ist, ist die Cantorfunktion   durch

 

eindeutig definiert. Die dazugehörige Verteilung im Sinne der Maßtheorie ist die Cantor-Verteilung.

EigenschaftenBearbeiten

  • Die Cantorverteilung ist singulär bezüglich des Lebesgue-Maßes.
  • Die Cantorverteilung ist eine symmetrische Verteilung.
  • Die Cantorverteilung besitzt keine Lebesgue-Dichte.
  • Die Cantorfunktion ist stetig und monoton wachsend zwischen 0 und 1.
  • Die Cantorfunktion ist fast überall differenzierbar mit Ableitung 0, aber dennoch nicht konstant.

In der Integrationstheorie ergeben also Ausdrücke der Form

 

wobei   eine beschränkte messbare Funktion auf dem Intervall   ist, einen Sinn, nicht dagegen Ausdrücke der Form

 

Physikalische RealisierungenBearbeiten

Teufelstreppen treten näherungsweise in der Physik in Systemen mit konkurrierenden Längen (z. B. in Adsorbaten oder bei strukturellen Phasenübergängen, die durch das Modell von Frenkel und Kontorowa beschrieben werden) oder mit konkurrierenden Wechselwirkungen (z. B. Magneten oder Legierungen, die durch das ANNNI-Modell beschrieben werden) auf. Teufelstreppen könnten auch das zeitlich "geklumpte" Auftreten von Erdbeben beschreiben.[1]

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Nadja Podbregar: Erdbeben folgen einer „Teufelstreppe“. In: scinexx | Das Wissensmagazin. 15. April 2020 (scinexx.de [abgerufen am 15. April 2020]).