Gammaverteilung

Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang-Verteilung für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie verwendet

DefinitionBearbeiten

Die Gammaverteilung   ist durch die Wahrscheinlichkeitsdichte
 

definiert. Sie besitzt die reellen Parameter   und  . Der Parameter   ist ein inverser Skalenparameter und der Parameter   ist ein Formparameter. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird   und   gefordert.

Der Vorfaktor   dient der korrekten Normierung; der Ausdruck   steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.

 
Die Gammaverteilung genügt damit der Verteilungsfunktion
 

wobei   die regularisierte Gammafunktion der oberen Grenze ist.

 

Alternative ParametrisierungBearbeiten

Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit   und   findet man auch häufig

  oder  

  ist die Umkehrung eines Skalenparameters und   ist der Skalenparameter selbst. Dichte und Momente ändern sich dementsprechend bei diesen Parametrisierungen (der Erwartungswert wäre hier beispielsweise   beziehungsweise  ). Da diese Parametrisierungen im angelsächsischen Raum vorherrschen, werden sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert   und Varianz   zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.

EigenschaftenBearbeiten

Die Dichte   besitzt für   an der Stelle   ihr Maximum und für   an den Stellen

 

Wendepunkte.

ErwartungswertBearbeiten

Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist

 

VarianzBearbeiten

Die Varianz der Gammaverteilung ist

 

SchiefeBearbeiten

Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch

 

ReproduktivitätBearbeiten

Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen   und  , die beide gammaverteilt sind mit den Parametern   und   bzw.  , ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern   und  .

Charakteristische FunktionBearbeiten

Die charakteristische Funktion hat die Form

 

Momenterzeugende FunktionBearbeiten

Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist

 

EntropieBearbeiten

Die Entropie der Gammaverteilung beträgt

 

wobei   die Digamma-Funktion bezeichnet.

Summe gammaverteilter ZufallsgrößenBearbeiten

Sind   und   unabhängige gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch die Summe   gammaverteilt, und zwar

 

Allgemein gilt: Sind   stochastisch unabhängig dann ist

 

Somit bildet die Gammaverteilung eine Faltungshalbgruppe in einem ihrer beiden Parameter.

Beziehung zu anderen VerteilungenBearbeiten

Beziehung zur BetaverteilungBearbeiten

Wenn   und   unabhängige gammaverteilte Zufallsvariablen sind mit den Parametern   bzw.  , dann ist die Größe   betaverteilt mit Parametern   und  , kurz

 

Beziehung zur Chi-Quadrat-VerteilungBearbeiten

  • Die Chi-Quadrat-Verteilung mit   Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit den Parametern   und  .

Beziehung zur Erlang-VerteilungBearbeiten

Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter   und   Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern   und   und liefert die Wahrscheinlichkeit der Zeit bis zum Eintreffen des  -ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignisses.

Beziehung zur ExponentialverteilungBearbeiten

  • Wählt man in der Gammaverteilung den Parameter  , so erhält man die Exponentialverteilung mit Parameter  .
  • Die Faltung von   Exponentialverteilungen mit demselben   ergibt eine Gamma-Verteilung mit  .

Beziehung zur logarithmischen GammaverteilungBearbeiten

Ist   Gamma-verteilt, dann ist   Log-Gamma-verteilt.

LiteraturBearbeiten

  • Bernard W. Lindgren: Statistical Theory. Chapman & Hall, New York u. a. 1993, ISBN 0-412-04181-2.
  • Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 11. Auflage. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00079-0.
  • P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik. 5., bearb. und wesentlich erw. Auflage. Akad.-Verlag, Leipzig 1991, ISBN 3-05-500608-9

WeblinksBearbeiten