Laplace-Verteilung
Die Laplace-Verteilung (benannt nach Pierre-Simon Laplace, einem französischen Mathematiker und Astronomen) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Da sie die Form zweier aneinandergefügter Exponentialverteilungen hat, wird sie auch als Doppelexponentialverteilung oder zweiseitige Exponentialverteilung[1] bezeichnet.
Definition Bearbeiten
Eine stetige Zufallsgröße unterliegt der Laplace-Verteilung mit dem Lageparameter und dem Skalenparameter , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
besitzt.
Ihre Verteilungsfunktion lautet
Mittels der Signum-Funktion lässt sie sich geschlossen darstellen als
- .
Eigenschaften Bearbeiten
Symmetrie Bearbeiten
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist achsensymmetrisch zur Geraden und die Verteilungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Punkt .
Erwartungswert, Median, Modalwert Bearbeiten
Der Parameter ist gleichzeitig Erwartungswert, Median und Modalwert.
Varianz Bearbeiten
Die Varianz wird durch den Parameter bestimmt.
Schiefe Bearbeiten
Die Schiefe der Laplace-Verteilung ist
- .
Kurtosis Bearbeiten
Die Wölbung einer Laplace-Verteilung ist identisch 6 (entspricht einem Exzess von 3).
Kumulanten Bearbeiten
Alle Kumulante mit ungeradem Grad sind gleich Null. Für gerade gilt
Momenterzeugende Funktion Bearbeiten
Die momenterzeugende Funktion eine Laplace-verteilten Zufallsgröße mit Parametern und lautet
- , für
Charakteristische Funktion Bearbeiten
Die charakteristische Funktion entsteht aus der momenterzeugenden Funktion, indem man das Argument durch ersetzt, man erhält:
- .
Entropie Bearbeiten
Die Entropie der Laplace-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt
- .
Zufallszahlen Bearbeiten
Zur Erzeugung doppelexponentialverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an.
Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion lautet hierbei
- .
Zu einer Folge von Standardzufallszahlen lässt sich daher eine Folge
doppelexponentialverteilter Zufallszahlen berechnen.
Beziehung zu anderen Verteilungen Bearbeiten
Beziehung zur Normalverteilung Bearbeiten
Sind unabhängige standardnormalverteilte Zufallsgrößen, dann ist standardlaplaceverteilt ( ).
Beziehung zur Exponentialverteilung Bearbeiten
Eine Zufallsvariable , die als Differenz zweier unabhängiger exponentialverteilter Zufallsvariablen und mit demselben Parameter definiert ist, ist Laplace-verteilt.[2]
Beziehung zur Rademacher-Verteilung Bearbeiten
Ist Rademacher-Verteilt, und ist Exponentialverteilt zum Parameter , so ist Laplace-Verteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparametern .
Abgrenzung zur stetigen Gleichverteilung Bearbeiten
Die so definierte stetige Laplaceverteilung hat nichts mit der stetigen Gleichverteilung zu tun. Sie wird mit ihr trotzdem gerne verwechselt, weil die diskrete Gleichverteilung nach Laplace benannt ist (Laplacewürfel)
Quellen Bearbeiten
- ↑ Georgii: Stochastik. 2009, S. 225.
- ↑ Milton Abramowitz und Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, 1972, S. 930