Laplace-Verteilung

stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die Laplace-Verteilung (benannt nach Pierre-Simon Laplace, einem französischen Mathematiker und Astronomen) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Da sie die Form zweier aneinandergefügter Exponentialverteilungen hat, wird sie auch als Doppelexponentialverteilung oder zweiseitige Exponentialverteilung[1] bezeichnet.

Dichtefunktionen der Laplace-Verteilung für unterschiedliche Parameter

DefinitionBearbeiten

Eine stetige Zufallsgröße   unterliegt der Laplace-Verteilung mit dem Lageparameter   und dem Skalenparameter  , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

 

besitzt.

Ihre Verteilungsfunktion lautet

 

Mittels der Signum-Funktion lässt sie sich geschlossen darstellen als

 .

EigenschaftenBearbeiten

SymmetrieBearbeiten

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist achsensymmetrisch zur Geraden   und die Verteilungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Punkt  .

Erwartungswert, Median, ModalwertBearbeiten

Der Parameter   ist gleichzeitig Erwartungswert, Median und Modalwert.

 

VarianzBearbeiten

Die Varianz wird durch den Parameter   bestimmt.

 

SchiefeBearbeiten

Die Schiefe der Laplace-Verteilung ist

 .

KurtosisBearbeiten

Die Wölbung einer Laplace-Verteilung ist identisch 6 (entspricht einem Exzess von 3).

 

KumulantenBearbeiten

Alle Kumulante   mit ungeradem Grad   sind gleich Null. Für gerade   gilt

 

Momenterzeugende FunktionBearbeiten

Die momenterzeugende Funktion eine Laplace-verteilten Zufallsgröße mit Parametern   und   lautet

 , für  

Charakteristische FunktionBearbeiten

Die charakteristische Funktion entsteht aus der momenterzeugenden Funktion, indem man das Argument   durch   ersetzt, man erhält:

 .

EntropieBearbeiten

Die Entropie der Laplace-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

 .

ZufallszahlenBearbeiten

Zur Erzeugung doppelexponentialverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an.

Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion lautet hierbei

 .

Zu einer Folge von Standardzufallszahlen   lässt sich daher eine Folge

 

doppelexponentialverteilter Zufallszahlen berechnen.

Beziehung zu anderen VerteilungenBearbeiten

Beziehung zur NormalverteilungBearbeiten

Sind   unabhängige standardnormalverteilte Zufallsgrößen, dann ist   standardlaplaceverteilt ( ).

Beziehung zur ExponentialverteilungBearbeiten

Eine Zufallsvariable  , die als Differenz zweier unabhängiger exponentialverteilter Zufallsvariablen   und   mit demselben Parameter definiert ist, ist Laplace-verteilt.[2]

Beziehung zur Rademacher-VerteilungBearbeiten

Ist   Rademacher-Verteilt, und ist   Exponentialverteilt zum Parameter  , so ist  Laplace-Verteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparametern  .

Abgrenzung zur stetigen GleichverteilungBearbeiten

Die so definierte stetige Laplaceverteilung hat nichts mit der stetigen Gleichverteilung zu tun. Sie wird mit ihr trotzdem gerne verwechselt, weil die diskrete Gleichverteilung nach Laplace benannt ist (Laplacewürfel)

QuellenBearbeiten

  1. Georgii: Stochastik. 2009, S. 225.
  2. Milton Abramowitz und Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, 1972, S. 930