Die Chi-Verteilung bzw. -Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Die Chi-Verteilung hat einen Parameter, die Anzahl der Freiheitsgrade . Sie hängt eng mit der Chi-Quadrat-Verteilung zusammen.

Definition

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Eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion

 

heißt chi-verteilt mit   Freiheitsgraden für jeden positiven Parameter  .[1] Dabei bezeichnet   die Gammafunktion. Die Verteilung der Zufallsvariablen heißt Chi-Verteilung mit   Freiheitsgraden.

Häufig wird die Chi-Verteilung nur für einen ganzzahligen Parameter   definiert.[2]

Eigenschaften

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  • Wenn   Chi-quadrat-verteilt mit   Freiheitsgraden ist, dann ist   Chi-verteilt mit   Freiheitsgraden.
  • Wenn   Chi-verteilt mit   Freiheitsgraden ist, dann ist   Chi-quadrat-verteilt mit   Freiheitsgraden.
  •   sei Chi-verteilt mit   Freiheitsgraden, dann gilt  , der Erwartungswert ist
 
und die Varianz ist
 [3]
  • Wenn   standardnormalverteilt ist, dann ist   Chi-verteilt mit einem Freiheitsgrad.

Beispiele

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  • Die Chi-Verteilung mit   Freiheitsgrad ist ein Spezialfall der Halbnormalverteilung (half-normal distribution).[4][5]
  • Die Chi-Verteilung mit   Freiheitsgraden ist ein Spezialfall der Rayleigh-Verteilung.
  • Die Chi-Verteilung mit   Freiheitsgraden ist ein Spezialfall der Maxwell-Boltzmann-Verteilung.
  • Wenn   standardnormalverteilt ist, dann ist die auf   gestutzte Verteilung eine Chi-Verteilung mit einem Freiheitsgrad.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Norman L. Johnson et al.: Continuous Univariate Distributions. S. 417.
  2. P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik. S. 58.
  3. Norman L. Johnson et al.: Continuous Univariate Distributions. S. 421.
  4. Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, S. 305, Nr. 10.
  5. Norman L. Johnson, Samuel Kotz, Narayanaswamy Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions – Volume 1 (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). 2. Auflage. Wiley, New York 1994, ISBN 0-471-58495-9, S. 156.