Gemischte Poisson-Verteilung
Die gemischte Poisson-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik, die univariat ist und zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zählt. Sie ist als allgemeiner Ansatz für die Schadenzahlverteilung in der Versicherungsmathematik zu finden und wird auch als epidemiologisches Modell untersucht. Sie verallgemeinert die Poisson-Verteilung und sollte nicht mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung verwechselt werden.
Definition Bearbeiten
Eine Zufallsvariable genügt der Gemischten Poisson-Verteilung mit der Dichte , wenn sie die Wahrscheinlichkeiten
besitzt. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung mit bezeichnen, gilt folglich
- .
Eigenschaften Bearbeiten
- Die Varianz ist immer größer als der Erwartungswert. Diese Eigenschaft nennt man Überdispersion (englisch overdispersion). Dies ist im Gegensatz zur Poisson-Verteilung, bei der Erwartungswert und Varianz identisch sind.
- In der Praxis werden als Dichten nur Dichten von Gamma-Verteilungen, logarithmische Normalverteilungen und von Inversen Gauß-Verteilungen benutzt. Wählt man die Dichte der Gamma-Verteilung, so erhält man die Negative Binomialverteilung, was erklärt, warum diese auch Poisson-Gamma-Verteilung genannt wird.
Im Folgenden sei der Erwartungswert der Dichte , und die Varianz dieser Dichte.
Erwartungswert Bearbeiten
Der Erwartungswert ergibt sich zu
- .
Varianz Bearbeiten
Für die Varianz erhält man
- .
Standardabweichung Bearbeiten
Aus Erwartungswert und Varianz erhält man die Standardabweichung
- .
Variationskoeffizient Bearbeiten
Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:
- .
Schiefe Bearbeiten
Die Schiefe lässt sich darstellen als
- .
Charakteristische Funktion Bearbeiten
Die charakteristische Funktion hat die Form
- .
Dabei ist die momenterzeugende Funktion der Dichte.
Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Bearbeiten
Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man
- .
Momenterzeugende Funktion Bearbeiten
Die momenterzeugende Funktion der gemischten Poisson-Verteilung ist
- .
Literatur Bearbeiten
- Jan Grandell: Mixed Poisson Processes. Chapman & Hall, London 1997, ISBN 0-412-78700-8.
- Tom Britton: Stochastic Epidemic Models with Inference. Springer, 2019, doi:10.1007/978-3-030-30900-8