Gemischte Poisson-Verteilung

Die gemischte Poisson-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik, die univariat ist und zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zählt. Sie ist als allgemeiner Ansatz für die Schadenzahlverteilung in der Versicherungsmathematik zu finden. Sie verallgemeinert die Poisson-Verteilung und sollte nicht mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung verwechselt werden.

DefinitionBearbeiten

Eine Zufallsvariable   genügt der Gemischten Poisson-Verteilung mit der Dichte  , wenn sie die Wahrscheinlichkeiten

 

besitzt. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung mit   bezeichnen, gilt folglich

 .

EigenschaftenBearbeiten

Im Folgenden sei   der Erwartungswert der Dichte  , und   die Varianz dieser Dichte.

ErwartungswertBearbeiten

Der Erwartungswert ergibt sich zu

 .

VarianzBearbeiten

Für die Varianz erhält man

 .

StandardabweichungBearbeiten

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man die Standardabweichung

 .

VariationskoeffizientBearbeiten

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

 .

SchiefeBearbeiten

Die Schiefe lässt sich darstellen als

 .

Charakteristische FunktionBearbeiten

Die charakteristische Funktion hat die Form

 .

Dabei ist   die momenterzeugende Funktion der Dichte.

Wahrscheinlichkeitserzeugende FunktionBearbeiten

Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

 .

Momenterzeugende FunktionBearbeiten

Die momenterzeugende Funktion der gemischten Poisson-Verteilung ist

 .

LiteraturBearbeiten