Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

spezielle reelle Funktion

Eine wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion, auch kurz erzeugende Funktion[1] oder Erzeugendenfunktion[2] genannt, ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine spezielle reelle Funktion. Jeder diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den natürlichen Zahlen und jeder Zufallsvariable mit Werten in den natürlichen Zahlen kann eine wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion zugeordnet werden. Umgekehrt kann auch aus jeder wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung oder die Verteilung der Zufallsvariable eindeutig rekonstruiert werden.

Aufgrund dieser eindeutigen Zuordnung ermöglichen es wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen, gewisse Eigenschaften der Verteilungen und Operationen von Zufallsvariablen auf Eigenschaften und Operationen von Funktionen zu übertragen. So existiert beispielsweise eine Beziehung zwischen den Ableitungen der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion und dem Erwartungswert, der Varianz und weiteren Momenten der Zufallsvariable. Ebenso entspricht der Addition von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen oder der Faltung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Multiplikation der entsprechenden wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen. Diese Vereinfachung wichtiger Operationen ermöglicht dann beispielsweise die Untersuchung von komplexen stochastischen Objekten wie dem Bienaymé-Galton-Watson-Prozess.

DefinitionBearbeiten

Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion lässt sich auf zwei Arten angeben: einerseits mittels einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, andererseits mittels der Verteilung einer Zufallsvariablen. Beide Arten sind äquivalent in dem Sinn, dass jede Wahrscheinlichkeitsverteilung als Verteilung einer Zufallsvariablen aufgefasst werden kann und jede Verteilung einer Zufallsvariable wieder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist. Bei beiden Definitionen ist   gesetzt. Mit   sei die Menge der natürlichen Zahlen inklusive der 0 bezeichnet.

Für WahrscheinlichkeitsverteilungenBearbeiten

Ist   eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf   mit Wahrscheinlichkeitsfunktion  , so heißt die Funktion

 

definiert durch

 

die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion von   beziehungsweise von  .[3]

Für ZufallsvariablenBearbeiten

Für eine Zufallsvariable   mit Werten in   ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

 

von   beziehungsweise von   definiert als

 .[4]

Somit ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion einer Zufallsvariable genau die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ihrer Verteilung. Alternativ lässt sich die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion einer Zufallsvariable auch über den Erwartungswert definieren als

 .[4]

Elementare BeispieleBearbeiten

Gegeben sei eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable  , also  . Dann ist   und  . Rein formell fasst man   als Zufallsvariable mit Werten in ganz   auf und setzt dann   für  . Dann ist

 

Ist die Zufallsvariable   binomialverteilt mit Parametern   und  , also  , so ist für  

 

und   für  . Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist dann

 .

Dies folgt mittels des binomischen Lehrsatzes.

EigenschaftenBearbeiten

Eigenschaften als FunktionBearbeiten

Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist eine Potenzreihe und hat einen Konvergenzradius von mindestens 1, sie konvergiert also für alle  . Dies folgt daraus, dass alle Koeffizienten der Potenzreihe positiv sind und sich zu 1 aufsummieren. Daraus folgt dann   für  . Damit erben die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen auf dem untersuchten Intervall   alle Eigenschaften der Potenzreihen: Sie sind stetig und auf dem Intervall   unendlich oft differenzierbar.

Da jedes der Monome   konvex und monoton wachsend ist und diese Eigenschaften abgeschlossen bezüglich konischen Kombinationen sind, ist auch die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion konvex und monoton wachsend.

UmkehrbarkeitBearbeiten

Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bestimmt die Verteilung von   eindeutig:

Sind   und    -wertige Zufallsvariable mit   für alle   mit einem  , dann folgt   für alle  .

Es gilt dann nämlich nach der Taylor-Formel für alle  

 .

Dieser Zusammenhang zeigt, dass   die Wahrscheinlichkeiten   „erzeugt“ und die Wahrscheinlichkeitsfunktion aus der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion rekonstruiert werden kann.

Faltung und Summen von ZufallsvariablenBearbeiten

Sind   und   unabhängige  -wertige Zufallsvariablen, so gilt für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion von  

 ,

denn mit   und   sind auch   und   unabhängig. Das lässt sich direkt auf endliche Summen unabhängiger Zufallsvariabler verallgemeinern: Sind   unabhängige  -wertige Zufallsvariablen, dann gilt für  

 .

Daraus folgt dann direkt für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion der Faltung   der Wahrscheinlichkeitsmaße  

 .

Beispiel

Seien   unabhängige, Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen zum selben Parameter  . Dann ist die Summe der Zufallsvariablen bekanntermaßen binomialverteilt zu den Parametern   und  , also  . Mit den oben im Abschnitt Elementare Beispiele hergeleiteten wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen für die Bernoulli-Verteilung und die Binomialverteilung folgt

 .

MomenterzeugungBearbeiten

Für eine  -wertige Zufallsvariable   und   ist

 

beziehungsweise

 .

Dabei sind beide Seiten der beiden Gleichungen genau dann endlich, wenn   endlich ist.

Damit lassen sich insbesondere der Erwartungswert und die Varianz einer  -wertigen Zufallsvariablen aus ihrer wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion ermitteln:

 ,
 .

Die Betrachtung des linksseitigen Grenzwertes ist hier notwendig, da die Differenzierbarkeit von Potenzreihen auf dem Rande des Konvergenzradius nicht notwendigerweise gegeben ist.

Beispiel

Sei   eine binomialverteilte Zufallsvariable, also  . Dann ist

 

Beide Ableitungen sind Polynome und können daher problemlos für   ausgewertet werden, der linksseitige Grenzwert braucht also nicht betrachtet werden. Es ist

 .

Damit folgt mit den obigen Ergebnissen

 .

Lineare Transformation von ZufallsvariablenBearbeiten

Lineare Transformationen der Zufallsvariable wirken wie folgt auf die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion:

 .

Beispiel

Ist   eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable, also  , so ist für   die Zufallsvariable   zweipunktverteilt auf  . Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist dann

 .

KonvergenzBearbeiten

Die punktweise Konvergenz der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion lässt sich direkt mit der Konvergenz in Verteilung in Beziehung setzen:

Sind   Zufallsvariablen mit zugehörigen wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen  , so konvergieren die   genau dann in Verteilung gegen  , wenn die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen   für alle   mit einem   punktweise gegen   konvergieren.[5]

Die Aussage gilt ebenso für die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die schwache Konvergenz.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen von zufälligen SummenBearbeiten

Mittels wahrscheinlichkeitserzeugender Funktionen lassen sich leicht Summen über eine zufällige Anzahl von Summanden berechnen. Sind   unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit Werten in   und   eine weitere, von allen   unabhängige Zufallsvariable mit demselben Wertebereich. Dann hat die Zufallsvariable

 

die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

 .

Diese Eigenschaft macht man sich zum Beispiel bei der Analyse des Galton-Watson-Prozesses zunutze. Nach den obigen Regeln für die Berechnung des Erwartungswertes gilt dann mit der Kettenregel

 ,

was der Formel von Wald entspricht.

Für die Varianz gilt dann

 .

Dies ist genau die Blackwell-Girshick-Gleichung. Auch sie folgt mittels der obigen Regeln zur Bestimmung der Varianz und der Produktregel.

Multivariate wahrscheinlichkeitserzeugende FunktionBearbeiten

Ist   ein  -dimensionaler Zufallsvektor mit Werten in  , so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion von   definiert als

 

mit  .

Erwartungswert, Varianz und KovarianzBearbeiten

Analog zum eindimensionalen Fall gilt

 

sowie

 

und

 

BeispieleBearbeiten

In der Tabelle sind einige wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen von gängigen diskreten Verteilungen aufgeführt. Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die hier nicht aufgeführt sind, stehen in dem jeweiligen Artikel der Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Verteilung Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion  
Bernoulli-Verteilung  
Zweipunktverteilung  
Binomialverteilung    
Geometrische Verteilung    
Negative Binomialverteilung    
Diskrete Gleichverteilung auf    
Logarithmische Verteilung  
Poisson-Verteilung    
Verallgemeinerte Binomialverteilung    
Multivariate Verteilungen
Multinomialverteilung  

Insbesondere ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion der Binomialverteilung gleich dem n-fachen Produkt der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion der Bernoulli-Verteilung, da die Binomialverteilung genau die Summe von unabhängigen Bernoulli-Verteilungen ist. Dasselbe gilt für die geometrische Verteilung und die negative Binomialverteilung.

Zusammenhang mit weiteren erzeugenden FunktionenBearbeiten

Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion einer Zufallsvariable   mit Wahrscheinlichkeitsfunktion   ist ein Spezialfall einer erzeugenden Funktion mit   für  . Außer der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion gibt es noch drei weitere erzeugende Funktionen in der Stochastik, die aber nicht nur für diskrete Verteilungen definiert werden. Die momenterzeugende Funktion ist definiert als  . Demnach gilt   Die charakteristische Funktion ist definiert als  . Demnach gilt  .

Außerdem gibt es noch die kumulantenerzeugende Funktion als Logarithmus der momenterzeugenden Funktion. Aus ihr wird der Begriff der Kumulante abgeleitet.

LiteraturBearbeiten

  • Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3, S. 370 ff.
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6.
  • Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5.
  • Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7.
  • Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Ehrhard Behrends: Elementare Stochastik. Ein Lernbuch – von Studierenden mitentwickelt. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-8348-1939-0, S. 108, doi:10.1007/978-3-8348-2331-1.
  2. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 79, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
  3. Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 111, doi:10.1515/9783110215274.
  4. a b Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 114, doi:10.1515/9783110215274.
  5. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 83, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.