Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist eine Funktion, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie einer Zufallsvariablen zugeordnet wird. In vielen Fällen ist diese Funktion in einer Umgebung des Nullpunktes in den reellen bzw. komplexen Zahlen definiert und kann dann mittels Ableitung zur Berechnung der Momente der Zufallsvariablen verwendet werden, woraus sich ihr Name erklärt.

DefinitionBearbeiten

Die momenterzeugende Funktion einer Zufallsvariablen   ist definiert durch[1]

 ,

wobei für   reelle bzw. komplexe Zahlen eingesetzt werden können, sofern der Erwartungswert auf der rechten Seite existiert. Dieser Ausdruck ist mindestens für   definiert. In vielen Fällen, siehe unten, ist diese Funktion in einer Umgebung der 0 definiert, und kann dann wie folgt in eine Potenzreihe entwickelt werden.

 .

Dabei gilt   und die   sind die Momente von  .

Die momenterzeugende Funktion hängt nur von der Verteilung von   ab. Wenn die momenterzeugende Funktion einer Verteilung in einer Umgebung von 0 existiert, so sagt man, etwas unpräzise aber allgemein gebräuchlich, die Verteilung habe eine momenterzeugende Funktion. Existiert   nur für  , so sagt man entsprechend, dass die Verteilung keine momenterzeugende Funktion habe.

Stetige WahrscheinlichkeitsverteilungenBearbeiten

Falls   eine stetige Wahrscheinlichkeitsdichte   hat, kann man obigen Erwartungswert mittels dieser Dichte schreiben und erhält für die momenterzeugende Funktion

 
 
 

gegeben, wobei   das  -te Moment von   ist. Der Ausdruck   ist also gerade die zweiseitige Laplacetransformation des durch   festgelegten Wahrscheinlichkeitsmaßes.

BemerkungenBearbeiten

Ursprung des Begriffs der momenterzeugenden FunktionBearbeiten

Die Bezeichnung momenterzeugend bezieht sich darauf, dass die  -te Ableitung von   im Punkt 0 (Null) gleich dem  -ten Moment der Zufallsvariablen   ist:

 .

Das liest man direkt an der oben angegebenen Potenzreihe ab. Durch die Angabe aller nicht verschwindenden Momente ist jede Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig festgelegt, falls die momenterzeugende Funktion auf einem offenen Intervall   existiert  .

Zusammenhang mit der charakteristischen FunktionBearbeiten

Die momenterzeugende Funktion steht in engem Zusammenhang mit der charakteristischen Funktion  . Es gilt  , falls die momenterzeugende Funktion existiert. Im Gegensatz zur momenterzeugenden Funktion existiert die charakteristische Funktion für beliebige Zufallsvariablen.

Zusammenhang mit der wahrscheinlichkeitserzeugenden FunktionBearbeiten

Des Weiteren besteht noch ein Zusammenhang zur wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion. Diese ist jedoch nur für  -wertige Zufallsvariablen definiert und zwar als  . Damit gilt   für diskrete Zufallsvariablen.

Zusammenhang mit der kumulantenerzeugenden FunktionBearbeiten

Die kumulantenerzeugende Funktion wird als natürlicher Logarithmus der momenterzeugenden Funktion definiert. Aus ihr wird der Begriff der Kumulante abgeleitet.

Summen unabhängiger ZufallsvariablenBearbeiten

Die momenterzeugende Funktion einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen ist das Produkt ihrer momenterzeugenden Funktionen: Sind   unabhängig, dann gilt für  

 ,

wobei beim vorletzten Gleichheitszeichen verwendet wurde, dass der Erwartungswert eines Produktes unabhängiger Zufallsvariablen gleich dem Produkt ihrer Erwartungswerte ist.

EindeutigkeitseigenschaftBearbeiten

Ist die momenterzeugende Funktion einer Zufallsgröße   in einer Umgebung von   endlich, so bestimmt sie die Verteilung von   eindeutig.[2] Formal bedeutet das:

Seien   und   zwei Zufallsgrößen mit momenterzeugenden Funktionen   und   derart, dass es ein   gibt mit   für alle  . Dann gilt   genau dann, wenn   für alle   gilt.

BeispieleBearbeiten

Für viele Verteilungen kann man die momenterzeugende Funktion direkt angeben:

Verteilung Momenterzeugende Funktion MX(t)
Bernoulli-Verteilung    
Betaverteilung  [3]  
Binomialverteilung    
Cauchy-Verteilung Die Cauchy-Verteilung hat keine momenterzeugende Funktion.[4]
Chi-Quadrat-Verteilung   [5]  
Erlang-Verteilung     für  
Exponentialverteilung     für  
Gammaverteilung    
Geometrische Verteilung mit Parameter    
Gleichverteilung über    
Laplace-Verteilung mit Parametern  [6]  
Negative Binomialverteilung     für  
Normalverteilung    
Poisson-Verteilung mit Parameter    

Verallgemeinerung auf mehrdimensionale ZufallsvariablenBearbeiten

Die momenterzeugende Funktion lässt sich auf  -dimensionale reelle Zufallsvektoren   wie folgt erweitern:

 ,

wobei   das Standardskalarprodukt bezeichnet.

Wenn die Komponenten des Zufallsvektors paarweise voneinander unabhängig sind, dann ergibt sich die momentgenerierende Funktion als Produkt aus den momentgenerierenden Funktionen von eindimensionalen Zufallsvariablen:

 .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer, Berlin / Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3, S. 378 ff.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Robert G. Gallager: Stochastic Processes. Cambridge University Press, 2013, ISBN 978-1-107-03975-9, Kapitel 1.5.5: Moment generating functions and other transforms
  2. J. H. Curtiss: A Note on the Theory of Moment Generating Functions. In: The Annals of Mathematical Statistics. Band 13, Nr. 4, 1942, ISSN 0003-4851, S. 430–433, abgerufen 30. Dezember 2012, (PDF; 402 kB).
  3. Otto J.W.F. Kardaun: Classical Methods of Statistics. Springer-Verlag, 2005, ISBN 3-540-21115-2, S. 44.
  4. Allan Gut: Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-1-4614-4707-8, Kapitel 8, Beispiel 8.2.
  5. A. C. Davison: Statistical Models. Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-1-4672-0331-9, Kapitel 3.2.
  6. Hisashi Tanizaki: Computational Methods in Statistics and Econometrics. Verlag Taylor and Francis, 2004, ISBN 0-203-02202-5, Abschnitt 2.2.11.