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Moment (Stochastik)

Parameter der deskriptiven Statistik

Momente von Zufallsvariablen sind Parameter der deskriptiven Statistik und spielen eine Rolle in der Stochastik. Die Begriffe Erwartungswert, Varianz, Schiefe und Wölbung zur Beschreibung einer Zufallsvariablen hängen eng mit deren Momenten zusammen.

Eine Verteilungsfunktion ist durch Angabe aller Momente der entsprechenden Zufallsvariable bestimmt, falls die Momente existieren und die Reihe der momenterzeugenden Funktion konvergiert. Die Bestimmung einer Verteilung mit vorgegebenen Momenten wird als das Momentenproblem bezeichnet, welches auch in der technischen Mechanik eine große Rolle spielt.

Es gibt Verteilungen, deren Momente nur bis zu einer bestimmten Ordnung existieren. Dazu gehört z. B. die t-Verteilung, deren Momente nur für Ordnungen existieren, die kleiner als die Anzahl der Freiheitsgrade sind. Im Spezialfall der Cauchy-Verteilung existiert also nicht einmal das erste Moment (der Erwartungswert), das ist auch bei der Lévy-Verteilung der Fall.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Es sei   eine Zufallsvariable und   eine natürliche Zahl. Dann bezeichnet man als Moment der Ordnung   von   oder kürzer als  -tes Moment von   den Erwartungswert der  ‑ten Potenz von   (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert):

 

und als  -tes absolutes Moment von   wird der Erwartungswert der  -ten Potenz des Absolutbetrages   von   bezeichnet:

 

In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung   betrachtet.

Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse.

Das erste Moment ist der Erwartungswert. Er wird meist mit   bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden.

Darstellung für reelle ZufallsvariableBearbeiten

Ist   eine auf einem Wahrscheinlichkeitsraum   definierte reelle Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion  , dann folgt aus der Definition des Erwartungswertes als Stieltjesintegral

 .

Ist   eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion  , dann gilt:

 ,

und für eine diskrete Zufallsvariable mit den Werten   und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten   ist

 .

Mit Hilfe des Lebesgue-Integrals bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes   lassen sich diese Fälle einheitlich schreiben als

 .

Zentrale MomenteBearbeiten

Neben den oben definierten Momenten werden die zentralen Momente definiert, bei denen die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse um den Erwartungswert   der Zufallsvariablen   betrachtet wird:

 

und

 

Aus der Definition folgt unmittelbar, dass das erste zentrale Moment immer 0 ist:

 

Das erste zentrale absolute Moment ist die mittlere absolute Abweichung:

 

Das zweite zentrale Moment ist die Varianz:

 

Das dritte zentrale Moment ist nach Normierung die Schiefe (engl. skewness):

 

Das vierte zentrale Moment ist nach Normierung die Wölbung (engl. kurtosis, Exzess):

 

Schiefe und Wölbung werden zusammen als höhere Momente bezeichnet. Die Wölbung wird oft als Maß der Abweichung von der Normalverteilung benutzt, die Schiefe ist ein Maß der Abweichung von einer symmetrischen Verteilung.

Momente, charakteristische Funktion und KumulantenBearbeiten

Durch mehrfaches Ableiten der Formel für die charakteristische Funktion erhält man eine Darstellung der gewöhnlichen Momente durch die charakteristische Funktion als

 

Das  -te Moment kann auch mit der momenterzeugenden Funktion ermittelt werden. Außerdem ist es möglich, das k-te Moment als Polynom k-ten Grades aus den ersten k Kumulanten   darzustellen. Dieses Polynom ist dann genau das  -te vollständige Bell-Polynom  :

 .

Markow-UngleichungBearbeiten

Die Bedeutung der Momente wird durch folgenden Satz deutlich:

Wenn das  -te absolute Moment   der Zufallsvariablen   existiert, dann gilt

 .

Das ist die Markow-Ungleichung, die eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit betragsmäßig großer Werte von   liefert. Im Spezialfall   folgt daraus mit der Varianz   von   die bekannte Tschebyscheffsche Ungleichung

 ,

die eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit großer Abweichungen der Zufallsvariablen   von ihrem Erwartungswert macht.

VerbundmomenteBearbeiten

Der Momentenbegriff lässt sich auch auf mehrere Zufallsvariablen erweitern. Im Falle zweier Zufallsvariablen   und   sind die gemeinsamen Momente (engl. joint moments) von   und  

 

mit der gemeinsamen Dichte  .

Analog werden die zentralen gemeinsamen Momente von   und   als

 

definiert. Insbesondere ist   die Kovarianz von   und  .

BerechnungBearbeiten

Ein Näherungsverfahren zur Berechnung von Momenten ist die First-order second-moment Methode.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Athanasios Papoulis, S. Unnikrishna Pillai: Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw-Hill Publishing Co.; 4Rev Ed edition (2002), ISBN 0-07-366011-6.

EinzelnachweiseBearbeiten