Die Wölbung, Kyrtosis, Kurtosis oder auch Kurtose (griechisch κύρτωσις kýrtōsis „Krümmen“, „Wölben“) ist eine Maßzahl für die Steilheit bzw. „Spitzigkeit“ einer (eingipfligen) Wahrscheinlichkeitsfunktion, statistischen Dichtefunktion oder Häufigkeitsverteilung.[1] Die Wölbung ist das standardisierte (zentrale) Moment 4. Ordnung. Verteilungen mit geringer Wölbung streuen relativ gleichmäßig; bei Verteilungen mit hoher Wölbung resultiert die Streuung mehr aus extremen, aber seltenen Ereignissen.

Der Exzess gibt die Differenz der Wölbung der betrachteten Funktion zur Wölbung der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße an.[1]

WölbungBearbeiten

Empirische WölbungBearbeiten

Zur Berechnung der Wölbung einer empirischen Häufigkeitsverteilung   wird die folgende Formel benutzt:

 

Damit die Wölbung unabhängig von der Maßeinheit der Variablen ist, werden die Beobachtungswerte   mit Hilfe des arithmetischen Mittels   und der Standardabweichung  

 

standardisiert. Durch die Standardisierung gilt

 

Die Wölbung kann nur nicht-negative Werte annehmen. Ein Wert   deutet darauf, dass die standardisierten Beobachtungen   nahe dem Mittelwert konzentriert sind, d. h. die Verteilung ist flachgipflig (siehe Bild), für   ist die Verteilung im Vergleich zu einer Normalverteilung spitzgipflig.

Wölbung einer ZufallsvariableBearbeiten

Analog zur empirischen Wölbung einer Häufigkeitsverteilung ist die Wölbung bzw. Kurtosis der Dichtefunktion bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariablen   definiert als ihr auf die vierte Potenz der Standardabweichung   normiertes viertes zentrales Moment  .

 

mit dem Erwartungswert  .

Als Darstellung mittels der Kumulanten   ergibt sich

 

Schätzung der Wölbung einer GrundgesamtheitBearbeiten

Zur Schätzung der unbekannten Wölbung   einer Grundgesamtheit mittels Stichprobendaten   (  der Stichprobenumfang) müssen der Erwartungswert und die Varianz aus der Stichprobe geschätzt werden, d. h. die theoretischen durch die empirischen Momente ersetzt werden:

 

mit dem Stichprobenmittel   und der Stichprobenstandardabweichung  .

ExzessBearbeiten

 
 

Um das Ausmaß der Wölbung besser einschätzen zu können, wird sie mit der Wölbung einer Normalverteilung verglichen, für die   gilt. Der Exzess (auch: Überkurtosis) ist daher definiert als

 

Mittels der Kumulanten ergibt sich

 

Nicht selten wird die Wölbung fälschlicherweise als Exzess bezeichnet.

Arten von ExzessBearbeiten

Verteilungen werden entsprechend ihrem Exzess eingeteilt in:

  •  : normalgipflig oder mesokurtisch. Die Normalverteilung hat die Kurtosis   und entsprechend den Exzess  .
  •  : steilgipflig, supergaußförmig oder leptokurtisch. Es handelt sich hierbei um im Vergleich zur Normalverteilung spitzere Verteilungen, d. h. Verteilungen mit starken Peaks.
  •  : flachgipflig, subgaußförmig oder platykurtisch. Man spricht von einer im Vergleich zur Normalverteilung abgeflachten Verteilung.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Bernd Rönz, Hans G. Strohe (1994), Lexikon Statistik, Gabler Verlag, S. 115