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Die Kovarianz (selten Mitstreuung[1]) ist in der Stochastik ein nichtstandardisiertes Zusammenhangsmaß für einen monotonen Zusammenhang zweier Zufallsvariablen mit gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der Wert dieser Kenngröße macht tendenzielle Aussagen darüber, ob hohe Werte der einen Zufallsvariablen eher mit hohen oder eher mit niedrigen Werten der anderen Zufallsvariablen einhergehen. Die Kovarianz ist ein Maß für die Assoziation zwischen zwei Zufallsvariablen.

DefinitionBearbeiten

Sind   und   zwei reelle, integrierbare Zufallsvariablen, deren Produkt ebenfalls integrierbar ist, d. h., die Erwartungswerte  ,   und   existieren, dann heißt

 

die Kovarianz von   und  .

Falls   und   quadratintegrierbar sind, also falls   und   gelten, so folgen aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung:

  und analog   und zusätzlich  .

Somit ist die geforderte Existenz der Erwartungswerte für quadratintegrierbare Zufallsvariablen erfüllt.

Außerdem gilt die folgende Fallunterscheidung für stetige und diskrete Zufallsvariablen:

 .

Eigenschaften und RechenregelnBearbeiten

Interpretation der KovarianzBearbeiten

  • Die Kovarianz ist positiv, wenn   und   einen monotonen Zusammenhang besitzen, d. h., hohe (niedrige) Werte von   gehen mit hohen (niedrigen) Werten von   einher.
  • Die Kovarianz ist hingegen negativ, wenn   und   einen gegensinnigen monotonen Zusammenhang aufweisen, d. h., hohe Werte der einen Zufallsvariablen gehen mit niedrigen Werten der anderen Zufallsvariablen einher und umgekehrt.
  • Ist das Ergebnis null, so besteht kein monotoner Zusammenhang zwischen   und   (Nichtmonotone Beziehungen sind aber möglich.).

Die Kovarianz gibt zwar die Richtung einer Beziehung zwischen zwei Zufallsvariablen an, über die Stärke des Zusammenhangs wird aber keine Aussage getroffen. Dies liegt an der Linearität der Kovarianz. Um einen Zusammenhang vergleichbar zu machen, muss die Kovarianz normiert werden. Die gebräuchlichste Normierung mittels der Standardabweichung führt zum Korrelationskoeffizienten.

VerschiebungssatzBearbeiten

Zur oft einfacheren Berechnung der Kovarianz kann man auch den Verschiebungssatz als alternative Darstellung der Kovarianz anwenden.

Satz (Verschiebungssatz für die Kovarianz):

 

Beweis:

 

Beziehung zur VarianzBearbeiten

Satz: Die Kovarianz ist die Polarform der Varianz, denn es gilt

 

Beweis:

 

Die Varianz ist demnach die Kovarianz einer Zufallsvariablen mit sich selbst.

Mit Hilfe der Kovarianzen lässt sich auch die Varianz einer Summe von quadratintegrierbaren Zufallsvariablen berechnen. Allgemein gilt

 

Speziell für die Summe zweier Zufallsvariablen gilt daher die Formel

 

Wie sich unmittelbar aus der Definition ergibt, ändert die Kovarianz das Vorzeichen, wenn eine der Variablen das Vorzeichen ändert:

 

Somit ergibt sich für die Differenz zweier Zufallsvariablen die Formel

 

Linearität, Symmetrie und DefinitheitBearbeiten

Satz: Die Kovarianz ist eine positiv semidefinite symmetrische Bilinearform auf dem Vektorraum der quadratisch integrierbaren Zufallsvariablen.

Es gelten also die folgenden drei Sätze:

Satz (Bilinearität): Für   gilt:

 
 

Beweis:

 
 

Die Kovarianz ist offensichtlich invariant unter der Addition von Konstanten zu den Zufallsvariablen. In der zweiten Gleichung ist die Kovarianz wegen der Symmetrie auch im ersten Argument linear.

Satz (Symmetrie):

 

Beweis:

 

Satz (Positive Semidefinitheit):

 

Beweis:

 

Insgesamt folgt wie für jede positiv semidefinite symmetrische Bilinearform die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

 

Die Linearität der Kovarianz hat zur Folge, dass die Kovarianz vom Maßstab der Zufallsvariablen abhängt. So erhält man beispielsweise die zehnfache Kovarianz, wenn man anstatt   die Zufallsvariable   betrachtet. Insbesondere hängt der Wert der Kovarianz von den verwendeten Maßeinheiten der Zufallsvariablen ab. Da diese Eigenschaft die absoluten Werte der Kovarianz schwer interpretierbar macht, betrachtet man bei der Untersuchung auf einen linearen Zusammenhang zwischen   und   häufig stattdessen den maßstabsunabhängigen Korrelationskoeffizienten. Der maßstabsunabhängige Korrelationskoeffizient zweier Zufallsvariablen   und   ist die Kovarianz der standardisierten (auf die Standardabweichung bezogenen) Zufallsvariablen   und  :[2]

 .

Unkorreliertheit und UnabhängigkeitBearbeiten

Definition (Unkorreliertheit): Sei   und folglich  , dann heißen die Zufallsvariablen   und   unkorreliert.

Satz: Seien   und   stochastisch unabhängige Zufallsvariablen, so gilt  

Beweis: Für stochastisch unabhängige Zufallsvariablen gilt  , d. h.

 

Der Umkehrschluss gilt im Allgemeinen nicht. Ein Gegenbeispiel ist gegeben durch eine im Intervall   gleichverteilte Zufallsvariable   und  . Offenkundig sind   und   voneinander abhängig. Es gilt aber

 .

Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen, deren Kovarianz existiert, sind also auch unkorreliert. Umgekehrt bedeutet Unkorreliertheit aber nicht zwingend, dass die Zufallsvariablen stochastisch unabhängig sind, denn es kann eine nichtmonotone Abhängigkeit bestehen, die die Kovarianz nicht erfasst.

Weitere Beispiele für unkorrelierte, aber stochastisch abhängige Zufallsvariablen:

  • Seien   und   Zufallsvariablen mit   und  
Dann gilt   und  ,  
Es folgt   und ebenfalls  , also  
Andererseits sind   und   wegen   nicht stochastisch unabhängig.
  • Seien die Zufallsvariablen   und   bernoulliverteilt mit Parameter   und unabhängig, dann sind   und   unkorreliert, aber nicht unabhängig.
Die Unkorreliertheit ist klar, denn  
Aber   und   sind nicht unabhängig, denn es ist  

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. H. Autrum, E. Bünning et al.: Ergebnisse Der Biologie., S. 88
  2. Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, und Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3, S. 326.