Ein Zusammenhangsmaß oder auch Assoziationsmaß genannt, gibt in der Statistik die Stärke und gegebenenfalls die Richtung eines Zusammenhangs zweier statistischer Variablen wieder.

AllgemeinesBearbeiten

Je nach Voraussetzung gibt es einen oder mehrere mögliche Zusammenhangsmaße, z. B.

Als nicht-standardisierte Zusammenhangsmaße werden solche bezeichnet, die ausschließlich für Tabellen gleicher Dimension und/oder bei gleichem Stichprobenumfang vergleichbar sind. Diese Maße nehmen in der Regel den Wert null an, wenn keine Abhängigkeit zwischen den betrachteten Merkmalen vorliegt. Standardisierte Zusammenhangsmaße nehmen Werte in einem Intervall an; damit kann man auch die Stärke des Zusammenhangs beurteilen.

Standardisierte Zusammenhangsmaße, bei denen mindestens ein Merkmal nominal skaliert ist, nehmen meist nur Werte im Intervall   an. Sind beide Merkmale mindestens ordinal skaliert, dann nehmen die standardisierten Zusammenhangsmaße Werte in Intervall   (Fall 1) oder   (Fall 2) an. Im ersten Fall wird neben der Stärke des Zusammenhangs auch eine Richtung angegeben.

Zum zweiten Fall zählen auch die Fehlerreduktionsmaße. Hier wird vorausgesetzt, dass ein Vorhersagewert für die abhängige Variable berechnet werden kann. Einmal unter Kenntnis des Zusammenhangs (je nach Wert/Kategorie der unabhängigen Variablen sage ich einen bestimmten Wert/Kategorie der abhängigen Variablen voraus) und einmal ohne Kenntnis des Zusammenhangs (nur basierend auf den Werten/Kategorien der abhängigen Variablen). Danach wird die Reduktion des Vorhersagefehlers bei beiden Methoden betrachtet. Damit wird der Zusammenhang zwischen den Variablen indirekt quantifiziert. Dies führt auch zu asymmetrischen Maßzahlen, je nachdem welche der beiden Variablen die abhängige Variable ist. Asymmetrisch bedeutet hier, dass sich der Wert des Koeffizienten ändert, wenn man statt der Beobachtungsreihe   die Beobachtungsreihe   betrachtet.

KoeffizientenBearbeiten

Für zwei nominale VariablenBearbeiten

Bei Koeffizienten für zwei nominal skalierten Variablen liegt eine Kontingenztabelle mit den gemeinsamen Häufigkeiten (bzw. Wahrscheinlichkeiten für Zufallsvariablen) zugrunde. Für die direkte Messung des Zusammenhang wird die quadratische Kontingenz verwendet, die die beobachten gemeinsamen Häufigkeiten mit den erwarteten gemeinsamen Häufigkeiten unter Unabhängigkeit (= kein Zusammenhang) vergleicht. Weichen die beiden Häufigkeiten für eine oder mehrere Kombinationen von Merkmalsausprägungen voneinander ab, dann liegt ein Zusammenhang vor. Des Weiteren gibt es spezielle Koeffizienten für 2x2-Kontingenztabellen. Zusammenhangsmaße für nominale Variablen können auch für ordinale oder metrisch diskrete Merkmale eingesetzt werden. Allerdings wird dabei ein Teil der Information in den Daten, z. B. die Rangfolge der Merkmalsausprägungen, nicht ausgenutzt.

Koeffizient Wertebereich Bemerkung
Quadratische Kontingenz größer gleich null nicht-standardisiert, symmetrisch
Mittlere quadratische Kontingenz größer gleich null standardisiert für 2x2-Kontingenztabellen, symmetrisch
Kontingenzkoeffizient größer gleich null und kleiner als eins nicht-standardisiert, symmetrisch
Korrigierter Kontingenzkoeffizient im Intervall   standardisiert, symmetrisch
Cramérs V im Intervall   (?) standardisiert, symmetrisch
Phi-Koeffizient im Intervall   (?) standardisiert, symmetrisch, Spezialfall von Cramérs V für 2x2-Kontingenztabellen
Chancenverhältnis größer gleich null nicht-standardisiert, asymmetrisch, meist für 2x2-Kontingenztabellen
Goodman und Kruskals Lambda im Intervall   standardisiert, symmetrisch und asymmetrisch, Fehlerreduktionsmaß
Goodman und Kruskals Tau im Intervall   standardisiert, symmetrisch und asymmetrisch, Fehlerreduktionsmaß
Unsicherheitskoeffizient im Intervall   standardisiert, symmetrisch und asymmetrisch, Fehlerreduktionsmaß

Für zwei ordinale VariablenBearbeiten

Bei Koeffizienten für zwei ordinal skalierte Variablen wird die Zahl der Beobachtungspaare   ermittelt, die konkordant (  und  ) bzw. diskordant (  und  ) sind. Konkordante Paare sprechen eher für einen positiven Zusammenhang, d. h. bei den Beobachtungen treten kleine Werte von   mit kleinen Werten von   und große Werte von   mit großen Werten von   auf. Diskordante Paare sprechen eher für einen negativen Zusammenhang, d. h. bei den Beobachtungen treten kleine Werte von   mit großen Werten von   und große Werte von   mit kleinen Werten von   auf. Aus der Zahl der konkordanten und diskordanten wird dann ein Zusammenhangsmaß berechnet. Die einzelnen Koeffizienten unterscheiden sich dann in der Art und Weise wie Bindungen, d. h. Beobachtungspaare mit   und/oder   berücksichtigt werden.

Eine Alternative ist die Verwendung von Rängen. Hierbei wird jedem Beobachtungswert   ein Rang zugeordnet, der seiner Position in der sortierten Reihe der   Werte angibt. Das Gleiche geschieht mit den  -Werten. Dann wird für jede Beobachtung der Rang von   mit dem Rang von   verglichen. Je stärker die Ränge bei einer Beobachtung übereinstimmen, desto mehr spricht es für einen positiven Zusammenhang. Je stärker sich die Ränge bei einer Beobachtung unterscheiden, desto mehr spricht es für einen negativen Zusammenhang.

Zusammenhangsmaße für ordinale Variablen können auch für metrisch Merkmale eingesetzt werden. Auch hierbei wird dann ein Teil der Information in den Daten nicht ausgenutzt, andererseits sind diese Koeffizienten dann robust gegen Ausreißer und zeigen auch nicht-linearen Zusammenhänge an.

Koeffizient Wertebereich Bemerkung
Kovarianz für Rangplätze im Intervall   nicht-standardisiert, symmetrisch, Differenz der konkordanten und diskordanten Paare
Kendall’sches Tau a im Intervall   standardisiert, symmetrisch, berücksichtigt keine Bindungen
Kendall’sches Tau b im Intervall   standardisiert, symmetrisch, berücksichtigt keine Beobachtungspaare mit   und  , erreicht die Werte   und   auf nicht-quadratischen Tabellen nicht
Kendall’sches Tau c im Intervall   standardisiert, symmetrisch, berücksichtigt keine Bindungen, korrigiert aber für nicht-quadratischen Tabellen
Kendall’sches Tau im Intervall   standardisiert, symmetrisch, berücksichtigt keine Beobachtungspaare mit   und  
Goodman und Kruskals Gamma im Intervall   standardisiert, symmetrisch, weist beim Vorliegen von Bindungen zu hohe Werte auf, der Absolutbetrag ist ein Fehlerreduktionsmaß
Yule's Q im Intervall   standardisiert, symmetrisch, Spezialfall von Goodman und Kruskals Gamma für dichotome Variablen, kann auch für nominale Variablen eingesetzt werden
Spearman’scher Rangkorrelationskoeffizient im Intervall   standardisiert, symmetrisch, setzt implizit voraus, dass benachbarte Ränge immer den gleichen Abstand haben

Für zwei metrische VariablenBearbeiten

 
Konstruktion der Kovarianz: 

Bei Koeffizienten für zwei metrisch skalierte Variablen wird für jede Beobachtung der Abstand von   zu einem Mittelwert der   Werte sowie der Abstand von   zu einem Mittelwert der   Werte ermittelt. Danach wird für jede Beobachtung das Produkt der beiden Abstände berechnet und über alle Beobachtungen gemittelt. Positive Werte des Produktes sprechen für einen positiven Zusammenhang, negative Werte für einen negativen Zusammenhang. Die Grafik rechts zeigt dies für die Kovarianz einer Beobachtungsreihe: Für jede Beobachtung wird der Abstand zum Mittelwert ermittelt, dann multipliziert und gemittelt. Die Koeffizienten unterscheiden sich darin wie der Abstand berechnet wird und welcher Mittelwert verwendet wird (arithmetisches Mittel oder Median).

Auch der Spearmans Rangkorrelationskoeffizient folgt diesem Schema, statt   und   werden die Ränge von   und   in der Bravais-Pearson-Korrelation verwendet. Durch die Eigenschaften der Ränge, z. B.  , kann die Formel der Bravais-Pearson-Korrelation vereinfacht werden.

Koeffizient Wertebereich Bemerkung
Kovarianz im Intervall   nicht-standardisiert, symmetrisch, nicht robust, misst nur den linearen Zusammenhang
Bravais-Pearson-Korrelation im Intervall   standardisiert, symmetrisch, nicht robust, misst nur den linearen Zusammenhang
Quadrantenkorrelation im Intervall   standardisiert, symmetrisch, robust, misst auch nicht-lineare Zusammenhänge
Bestimmtheitsmaß im Intervall   standardisiert, symmetrisch, nicht robust, Fehlerreduktionsmaß

Für zwei Variablen unterschiedlichen SkalenniveausBearbeiten

Eine oft genutzte Möglichkeit ist die Benutzung eines Koeffizienten, der für zwei Variablen des niedrigen Skalenniveaus geeignet ist. Ist z. B. eine Variable ordinal, die andere metrisch skaliert, dann benutzt man einen Koeffizienten für zwei ordinale Variablen. Dabei nimmt man in Kauf, dass man nicht alle Informationen in den Beobachtungen ausnutzt.

Sehr problematisch wird dies, wenn eine Variable metrisch (stetig) ist und die andere nominal. Daher wurden eine Reihe von speziellen Koeffizienten für unterschiedliche Skalenniveaus entwickelt. Eine Vertauschung der Rollen der Variablen in den Formeln ist nicht möglich, d. h. es ergibt keinen Sinn, von symmetrischen oder asymmetrischen Koeffizienten zu sprechen.

Koeffizient     Wertebereich Bemerkung
Eta Quadrat nominal metrisch im Intervall   Fehlerreduktionsmaß, nicht robust
Punktbiseriale Korrelation dichotom metrisch im Intervall   nicht robust