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Zufallsvariable

Größe deren Wert vom Zufall abhängt

In der Stochastik ist eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße (auch zufällige Größe,[1] Zufallsveränderliche, selten stochastische Variable oder stochastische Größe) eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängig ist.[2] Formal ist eine Zufallsvariable eine Zuordnungsvorschrift, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Größe zuordnet.[1] Ist diese Größe eine Zahl, so spricht man von einer Zufallszahl. Beispiele für Zufallszahlen sind die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln und die Gewinnhöhe in einem Glücksspiel. Zufallsvariablen können aber auch komplexere mathematische Objekte, wie Zufallsbewegungen, Zufallspermutationen oder Zufallsgraphen, sein.

Über verschiedene Zuordnungsvorschriften können einem Zufallsexperiment auch verschiedene Zufallsvariablen zugeordnet werden.[1] Den einzelnen Wert, den eine Zufallsvariable bei der Durchführung eines Zufallsexperiments annimmt, nennt man Realisierung[3] oder im Falle eines stochastischen Prozesses einen Pfad.

Während früher der von A. N. Kolmogorow eingeführte Begriff Zufallsgröße der übliche deutsche Begriff war, hat sich heute (ausgehend vom englischen random variable) der etwas irreführende Begriff Zufallsvariable durchgesetzt.[4]

Inhaltsverzeichnis

Motivation des formalen BegriffsBearbeiten

Die Funktionswerte   einer Zufallsvariablen   sind abhängig von einer den Zufall repräsentierenden Größe  . Zum Beispiel kann   das zufällige Ergebnis eines Münzwurfs sein. Dann kann zum Beispiel eine Wette auf den Ausgang eines Münzwurfs mithilfe einer Zufallsvariablen modelliert werden. Angenommen, es wurde auf Zahl gewettet, und wenn richtig gewettet wurde, wird 1 EUR ausgezahlt, sonst nichts. Sei   die Auszahlungssumme. Da der Wert von   vom Zufall abhängt, ist   eine Zufallsvariable, insbesondere eine reelle Zufallsvariable. Sie bildet die Menge der Wurfergebnisse   auf die Menge der möglichen Auszahlungsbeträge   ab:

 

Wettet man bei zwei Münzwürfen beide Male auf Kopf und bezeichnet die Kombination der Ausgänge der Münzwürfe mit  , so lassen sich beispielsweise folgende Zufallsvariablen untersuchen:

  1.   als Auszahlung nach der ersten Wette,
  2.   als Auszahlung nach der zweiten Wette,
  3.   als Summe der beiden Auszahlungen.

Zufallsvariable selbst werden üblicherweise mit einem Großbuchstaben bezeichnet (hier  ), während man für die Realisierungen die entsprechenden Kleinbuchstaben verwendet (so beispielsweise für   die Realisierungen  ,  ,  ).

Im Beispiel hat die Menge   eine konkrete Interpretation. In der weiteren Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es oft zweckmäßig, die Elemente von   als abstrakte Repräsentanten des Zufalls zu betrachten, ohne ihnen eine konkrete Bedeutung zuzuweisen, und dann sämtliche zu modellierende Zufallsvorgänge als Zufallsvariable zu erfassen.

DefinitionBearbeiten

Als Zufallsvariable bezeichnet man eine messbare Funktion von einem Wahrscheinlichkeitsraum in einen Messraum.

Eine formale mathematische Definition lässt sich wie folgt geben:[5]

Es seien   ein Wahrscheinlichkeitsraum und   ein Messraum. Eine  -messbare Funktion   heißt dann eine  -Zufallsvariable auf  .

Beispiel: Zweimaliger WürfelwurfBearbeiten

 
Summe von zwei Würfeln: .

Das Experiment, mit einem fairen Würfel zweimal zu würfeln, lässt sich mit folgendem Wahrscheinlichkeitsraum   modellieren:

  •   ist die Menge der 36 möglichen Ergebnisse  
  •   ist die Potenzmenge von  
  • Will man zwei unabhängige Würfe mit einem fairen Würfel modellieren, so setzt man alle 36 Ergebnisse gleich wahrscheinlich, wählt also das Wahrscheinlichkeitsmaß   als   für  .

Die Zufallsvariablen   (gewürfelte Zahl des ersten Würfels),   (gewürfelte Zahl des zweiten Würfels) und   (Augensumme des ersten und zweiten Würfels) werden als folgende Funktionen definiert:

  1.  
  2.   und
  3.  

wobei für   die borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen gewählt wird.

BemerkungenBearbeiten

In der Regel wird auf die konkrete Angabe der zugehörigen Räume verzichtet; es wird angenommen, dass aus dem Kontext klar ist, welcher Wahrscheinlichkeitsraum auf   und welcher Messraum auf   gemeint ist.

Bei einer endlichen Ergebnismenge   wird   meistens als die Potenzmenge von   gewählt. Die Forderung, dass die verwendete Funktion messbar ist, ist dann immer erfüllt. Messbarkeit wird erst wirklich bedeutsam, wenn die Ergebnismenge   überabzählbar viele Elemente enthält.

Einige Klassen von Zufallsvariablen mit bestimmten Wahrscheinlichkeits- und Messräumen werden besonders häufig verwendet. Diese werden teilweise mit Hilfe alternativer Definitionen eingeführt, die keine Kenntnisse der Maßtheorie voraussetzen:

Reelle ZufallsvariableBearbeiten

Bei reellen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge   der reellen Zahlen versehen mit der borelschen  -Algebra. Die allgemeine Definition von Zufallsvariablen lässt sich in diesem Fall zur folgenden Definition vereinfachen:

Eine reelle Zufallsvariable ist eine Funktion  , die jedem Ergebnis   aus einer Ergebnismenge   eine reelle Zahl   zuordnet und die folgende Messbarkeitsbedingung erfüllt:
 

Das bedeutet, dass die Menge aller Ergebnisse, deren Realisierung unterhalb eines bestimmten Wertes liegt, ein Ereignis bilden muss.

Im Beispiel des zweimaligen Würfelns sind  ,   und   jeweils reelle Zufallsvariable.

Mehrdimensionale ZufallsvariableBearbeiten

Hauptartikel: Zufallsvektor

Eine mehrdimensionale Zufallsvariable ist eine messbare Abbildung   für eine Dimension  . Sie wird auch als Zufallsvektor bezeichnet. Damit ist   gleichzeitig ein Vektor von einzelnen reellen Zufallsvariablen  , die alle auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind. Die Verteilung von   wird als multivariat bezeichnet, die Verteilungen der Komponenten   nennt man auch Randverteilungen. Die mehrdimensionalen Entsprechungen von Erwartungswert und Varianz sind der Erwartungswertvektor und die Kovarianzmatrix.

Im Beispiel des zweimaligen Würfelns ist   eine zweidimensionale Zufallsvariable.

Zufallsvektoren sollten nicht mit Wahrscheinlichkeitsvektoren (auch stochastische Vektoren genannt) verwechselt werden. Diese sind Elemente des  , deren Komponenten positiv sind und deren Summe 1 ergibt. Sie beschreiben die Wahrscheinlichkeitsmaße auf Mengen mit   Elementen.

Komplexe ZufallsvariableBearbeiten

Bei komplexen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge   der komplexen Zahlen versehen mit der durch die kanonische Vektorraumisomorphie zwischen   und   „geerbten“ borelschen σ-Algebra.   ist genau dann eine Zufallsvariable, wenn Realteil   und Imaginärteil   jeweils reelle Zufallsvariablen sind.

Die Verteilung von Zufallsvariablen, ExistenzBearbeiten

Eng verknüpft mit dem eher technischen Begriff einer Zufallsvariablen ist der Begriff der auf dem Bildraum von   induzierten Wahrscheinlichkeitsverteilung. Mitunter werden beide Begriffe auch synonym verwendet. Formal wird die Verteilung   einer Zufallsvariablen   als das Bildmaß des Wahrscheinlichkeitsmaßes   definiert, also

  für alle  , wobei   die auf dem Bildraum der Zufallsvariablen   gegebene σ-Algebra ist.

Statt   werden in der Literatur für die Verteilung von   auch die Schreibweisen   oder   verwendet.

Spricht man also beispielsweise von einer normalverteilten Zufallsvariablen, so ist damit eine Zufallsvariable mit Werten in den reellen Zahlen gemeint, deren Verteilung einer Normalverteilung entspricht.

Eigenschaften, welche sich allein über gemeinsame Verteilungen von Zufallsvariablen ausdrücken lassen, werden auch wahrscheinlichkeitstheoretisch genannt.[6] Für Behandlung solcher Eigenschaften ist es nicht notwendig, die konkrete Gestalt des (Hintergrund-)Wahrscheinlichkeitsraumes zu kennen, auf dem die Zufallsvariablen definiert sind.

Häufig wird deswegen von einer Zufallsvariablen lediglich die Verteilungsfunktion angegeben und der zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum offen gelassen. Dies ist vom Standpunkt der Mathematik erlaubt, sofern es tatsächlich einen Wahrscheinlichkeitsraum gibt, der eine Zufallsvariable mit der gegebenen Verteilung erzeugen kann. Ein solcher Wahrscheinlichkeitsraum   lässt sich aber zu einer konkreten Verteilung leicht angeben, indem beispielsweise  ,   als die Borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen und   als das durch die Verteilungsfunktion induzierte Lebesgue-Stieltjes-Maß gewählt wird. Als Zufallsvariable kann dann die identische Abbildung   mit   gewählt werden.[7]

Wenn eine Schar von Zufallsvariablen betrachtet wird, reicht es aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Perspektive genauso, die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen anzugeben, die Gestalt des Wahrscheinlichkeitsraums kann wiederum offen gelassen werden.

Die Frage nach der konkreten Gestalt des Wahrscheinlichkeitsraumes tritt also in den Hintergrund, es ist jedoch von Interesse, ob zu einer Schar von Zufallsvariablen mit vorgegebenen endlichdimensionalen gemeinsamen Verteilungen ein Wahrscheinlichkeitsraum existiert, auf dem sie sich gemeinsam definieren lassen. Diese Frage wird für unabhängige Zufallsvariablen durch einen Existenzsatz von É. Borel gelöst, der besagt, dass man im Prinzip auf den von Einheitsintervall und Lebesgue-Maß gebildeten Wahrscheinlichkeitsraum zurückgreifen kann. Ein möglicher Beweis nutzt, dass sich die binären Nachkommastellen der reellen Zahlen in [0,1] als ineinander verschachtelte Bernoulli-Folgen betrachten lassen (ähnlich Hilberts Hotel).[8]

Mathematische Attribute für ZufallsvariablenBearbeiten

Verschiedene mathematische Attribute, die in der Regel denen für allgemeine Funktionen entlehnt sind, finden bei Zufallsvariablen Anwendung. Die häufigsten werden in der folgenden Zusammenstellung kurz erklärt:

diskretBearbeiten

Eine Zufallsvariable wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt oder etwas allgemeiner, wenn ihre Verteilung eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist.[9] Im obigen Beispiel des zweimaligen Würfelns sind alle drei Zufallsvariablen  ,   und   diskret. Ein weiteres Beispiel für diskrete Zufallsvariablen sind zufällige Permutationen.

konstantBearbeiten

Eine Zufallsvariable wird als konstant bezeichnet, wenn sie nur einen Wert annimmt:   für alle  . Sie ist ein Spezialfall einer diskreten Zufallsvariable.

unabhängigBearbeiten

Zwei reelle Zufallsvariablen   heißen unabhängig, wenn für je zwei Intervalle   und   die Ereignisse   und   stochastisch unabhängig sind. Das sind sie, wenn gilt:  .

In obigem Beispiel sind   und   unabhängig voneinander; die Zufallsvariablen   und   hingegen nicht.

Unabhängigkeit mehrerer Zufallsvariablen   bedeutet, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß   des Zufallsvektors   dem Produktmaß der Wahrscheinlichkeitsmaße der Komponenten, also dem Produktmaß von   entspricht.[10] So lässt sich beispielsweise dreimaliges unabhängiges Würfeln durch den Wahrscheinlichkeitsraum   mit

 ,
  der Potenzmenge von   und
 

modellieren; die Zufallsvariable "Ergebnis des  -ten Wurfes" ist dann

  für  .

Die Konstruktion eines entsprechenden Wahrscheinlichkeitsraums für eine beliebige Familie unabhängiger Zufallsvariable mit gegebenen Verteilungen ist ebenfalls möglich.[11]

identisch verteiltBearbeiten

Zwei oder mehr Zufallsvariablen heißen identisch verteilt (bzw. i.d. für identically distributed), wenn ihre induzierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen gleich sind. In Beispiel des zweimaligen Würfelns sind  ,   identisch verteilt; die Zufallsvariablen   und   hingegen nicht.

unabhängig und identisch verteiltBearbeiten

Häufig werden Folgen von Zufallsvariablen untersucht, die sowohl unabhängig als auch identisch verteilt sind; demnach spricht man von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen, üblicherweise mit u.i.v. bzw. i.i.d. (für independent and identically distributed) abgekürzt.

In obigem Beispiel des dreimaligen Würfelns sind  ,   und   i.i.d. Die Summe der ersten beiden Würfe   und die Summe des zweiten und dritten Wurfs   sind zwar identisch verteilt, aber nicht unabhängig. Dagegen sind   und   unabhängig, aber nicht identisch verteilt.

austauschbarBearbeiten

Austauschbare Familien von Zufallsvariablen sind Familien, deren Verteilung sich nicht ändert, wenn man endlich viele Zufallsvariablen in der Familie vertauscht. Austauschbare Familien sind stets identisch verteilt, aber nicht notwendigerweise unabhängig.

Mathematische Attribute für reelle ZufallsvariablenBearbeiten

KenngrößenBearbeiten

Zur Charakterisierung von Zufallsvariablen dienen einige wenige Funktionen, die wesentliche mathematische Eigenschaften der jeweiligen Zufallsvariable beschreiben. Die wichtigste dieser Funktionen ist die Verteilungsfunktion, die Auskunft darüber gibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert bis zu einer vorgegebenen Schranke annimmt, beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine Vier zu würfeln. Bei stetigen Zufallsvariablen wird diese durch die Wahrscheinlichkeitsdichte ergänzt, mit der die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, dass die Werte einer Zufallsvariablen innerhalb eines bestimmten Intervalls liegen. Des Weiteren sind Kennzahlen wie der Erwartungswert, die Varianz oder höhere mathematische Momente von Interesse.

stetig oder kontinuierlichBearbeiten

Das Attribut stetig wird für unterschiedliche Eigenschaften verwendet.

  • Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig (oder auch absolut stetig) bezeichnet, wenn sie eine Dichte besitzt (ihre Verteilung absolutstetig bezüglich des Lebesgue-Maßes ist).[12]
  • Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine stetige Verteilungsfunktion besitzt.[13] Insbesondere bedeutet das, dass   für alle   gilt.

Messbarkeit, Verteilungsfunktion und ErwartungswertBearbeiten

Wenn eine reelle Zufallsvariable   auf dem Ergebnisraum   und eine messbare Funktion   gegeben ist, dann ist auch   eine Zufallsvariable auf demselben Ergebnisraum, da die Verknüpfung messbarer Funktionen wieder messbar ist.   wird auch als Transformation der Zufallsvariablen   unter   bezeichnet. Die gleiche Methode, mit der man von einem Wahrscheinlichkeitsraum   nach   gelangt, kann benutzt werden, um die Verteilung von   zu erhalten.

Die Verteilungsfunktion von   lautet

 .

Der Erwartungswert einer quasi-integrierbaren Zufallsgröße   von   nach   berechnet sich folgend:

 .

integrierbar und quasi-integrierbarBearbeiten

Eine Zufallsvariable heißt integrierbar, wenn der Erwartungswert der Zufallsvariable existiert und endlich ist. Die Zufallsvariable heißt quasi-integrierbar, wenn der Erwartungswert existiert, möglicherweise aber unendlich ist. Jede integrierbare Zufallsvariable ist folglich auch quasi-integrierbar.

BeispielBearbeiten

Es sei   eine reelle stetig verteilte Zufallsvariable und  .

Dann ist

 

Fallunterscheidung nach  :

 

 

 

 

StandardisierungBearbeiten

Eine Zufallsvariable nennt man standardisiert, wenn ihr Erwartungswert 0 und ihre Varianz 1 ist. Die Transformation einer Zufallsvariable   in eine standardisierte Zufallsvariable

 

bezeichnet man als Standardisierung der Zufallsvariable  .

SonstigesBearbeiten

  • Zeitlich zusammenhängende Zufallsvariablen können auch als stochastischer Prozess aufgefasst werden
  • Eine Folge von Realisierungen einer Zufallsvariable nennt man auch Zufallssequenz
  • Eine Zufallsvariable   erzeugt eine σ-Algebra  , wobei   die Borelsche σ-Algebra des   ist.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c Jörg Bewersdorff: Glück, Logik und Bluff. Mathematik im Spiel - Methoden, Ergebnisse und Grenzen. 6. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-1923-9, S. 39, doi:10.1007/978-3-8348-2319-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg+Teubner Verlag, 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, doi:10.1007/978-3-8348-9351-2, S. 12.
  3. David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, S. 456–457, doi:10.1007/b137972.
  4. Jeff Miller: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. Abschnitt R.
  5. Karl Hinderer: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin 1980, ISBN 3-540-07309-4 (nicht überprüft)
  6. Loève: Probability Theory. 4. Auflage. Band 1, Springer 1977, ISBN 0-387-90210-4, S. 172f.
  7. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3, Definition 5.6.2.
  8. Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. 2. Ausgabe. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95313-2, S. 55.
  9. David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, S. 90, doi:10.1007/b137972.
  10. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3 (Definition 5.8.1)
  11. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3, Kapitel 11.4.
  12. Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 11. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, Definition 2.3.3.
  13. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3, S. 210.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Wikibooks: Zufallsvariablen – Lern- und Lehrmaterialien
  Wikibooks: Funktionen von Zufallsvariablen – Lern- und Lehrmaterialien