Messraum (Mathematik)

Grundmenge mit einer σ-Algebra

Messraum oder auch messbarer Raum ist ein Begriff der Maßtheorie, einem Teilbereich der Mathematik, der sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschäftigt. Messräume bilden hier ein Analogon zum Definitionsbereich, sie geben an, über welche Mengen eine Aussage getroffen werden kann.

DefinitionBearbeiten

Ein Tupel   heißt Messraum oder messbarer Raum, wenn

  •   eine beliebige Grundmenge ist und
  •   eine σ-Algebra auf dieser Grundmenge ist.

In der Stochastik werden Messräume auch Ereignisräume genannt.[1] Eine Menge   heißt messbare Menge, wenn   ist.

Abgrenzung zu anderen MessbarkeitsbegriffenBearbeiten

Wichtig für den hier verwendeten Begriff einer messbaren Menge ist, dass dafür kein Maß definiert sein muss, sondern nur ein Messraum. Daher spricht man auch teilweise von Messbarkeit bezüglich eines Messraumes.

Davon abzugrenzen ist die Messbarkeit nach Carathéodory von Mengen bezüglich eines äußeren Maßes. Auch hier wird kein Maß benötigt, sondern nur ein äußeres Maß.

BeispieleBearbeiten

Betrachtet man als Beispiel den Grundraum

 

und definiert darauf die zwei σ-Algebren

 , also die Potenzmenge von  , und
 ,

dann sind   und   Messräume, aber die Menge   ist nur messbar bezüglich   und nicht bezüglich  .

Allgemein bildet jede Menge mit ihrer Potenzmenge einen Messraum. Besonders in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet man häufig den Messraum   der borelschen σ-Algebra.

Isomorphie von MessräumenBearbeiten

Zwei Messräume   und   heißen isomorph, wenn es eine bijektive Funktion   von   nach   gibt, die  - -messbar ist und deren Umkehrabbildung    - -messbar ist.

Klassen von MessräumenBearbeiten

Borel’sche RäumeBearbeiten

Ein Messraum   heißt ein Borel’scher Raum oder Borel-Raum, wenn es eine messbare Menge   gibt, so dass   und   Borel-isomorph sind.

EntscheidungsräumeBearbeiten

Ein Entscheidungsraum ist ein Messraum, bei dem die σ-Algebra alle einelementigen Mengen enthält, wenn also für jedes   die Menge   ist.   ist beispielsweise ein Entscheidungsraum.

Separierte MessräumeBearbeiten

Ein Messraum   heißt ein separierter Messraum, wenn die Menge von Funktionen

 

eine punktetrennende Menge auf   ist. Dabei bezeichnet   die Charakteristische Funktion der Menge  .

Dies ist genau dann der Fall, wenn es für je zwei Punkte   eine Menge   gibt, so dass   aber  .

Abzählbar erzeugte MessräumeBearbeiten

Ein Messraum heißt ein abzählbar erzeugter Messraum, wenn die σ-Algebra des Messraumes eine abzählbar erzeugte σ-Algebra ist, also einen abzählbaren Erzeuger besitzt.

VerwendungBearbeiten

Für Messräume gibt es in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Maßtheorie zahlreiche Anwendungen. Einerseits lassen sie sich nach Wahl eines Maßes zu einem Maßraum erweitern, andererseits entsprechen sie dem Wertebereich bei Konstruktion von Bildmaßen mittels messbarer Funktionen.

In der Stochastik werden die Messräume auch teilweise Ereignisraum genannt, die messbaren Mengen heißen dann Ereignisse. Nach Wahl eines Wahrscheinlichkeitsmaßes handelt es sich dann um einen Wahrscheinlichkeitsraum.

LiteraturBearbeiten

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 10, doi:10.1515/9783110215274.