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Die stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen ist ein zentrales Konzept der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Statistik, das die stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen und die Unabhängigkeit von Mengensystemen verallgemeinert. Die stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen wird beispielsweise bei der Formulierung des Zentralen Grenzwertsatzes benötigt.

Inhaltsverzeichnis

Definition für zwei ZufallsvariablenBearbeiten

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum   sowie zwei Messräume   und   und zwei Zufallsvariablen

 

und

 .

Die beiden Zufallsvariablen heißen stochastisch unabhängig oder einfacher unabhängig, wenn für jedes   und jedes   gilt, dass

 .

Meist werden die Mengen kompakter notiert, indem man anstelle von   einfach   schreibt. Dann lautet die Definition

 

für alle  .

Eine alternative Definition wird durch die stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen ermöglicht. Man definiert dann

 
 .

Die Zufallsvariablen   heißen dann stochastisch unabhängig, wenn für alle   gilt, dass die   und   stochastisch unabhängige Ereignisse sind, also

 

gilt.

BeispielBearbeiten

Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum   mit Grundmenge  , σ-Algebra   und als Wahrscheinlichkeitsmaß die Gleichverteilung auf der Grundmenge. Sei   und  . Die Zufallsvariablen sind definiert als

 
 .

Jede der σ-Algebren hat 4 Elemente:  . Demnach wären 16 Kombinationen zu überprüfen. Die Fälle, in denen eine der beteiligten Mengen die Obermenge oder die leere Menge ist, können jedoch ausgeschlossen werden, da jede Menge von diesen beiden unabhängig ist. Demnach bleiben nur 4 Fälle übrig:   oder   kombiniert mit   oder  

  1. Sei  . Dann ist   und   sowie  . Diese Ereignisse sind unabhängig, denn es ist  .
  2. Sei  . Dann ist   und   sowie  . Diese Ereignisse sind unabhängig, denn es ist  .
  3. Sei   und  . Dann ist   und   sowie  . Diese Ereignisse sind unabhängig, denn es ist  .
  4. Sei   und  . Dann ist   und   sowie  . Diese Ereignisse sind unabhängig, denn es ist  .

Somit sind alle Ereignisse unabhängig und demnach auch die Zufallsvariablen.

Allgemeine DefinitionBearbeiten

Die Familie von Zufallsvariablen  ,   für eine beliebige Indexmenge   heißt stochastisch unabhängig, falls für jede endliche Teilmenge   von   gilt, dass

 

für alle   gilt.

Mit der Unabhängigkeit für Mengensysteme wird die stochastische Unabhängigkeit von Zufallsvariablen auch wie folgt definiert: Eine Familie von Zufallsvariablen sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn ihre Initial-σ-Algebren voneinander unabhängig sind.

Diese Definition kann äquivalent auf Zufallsvektoren, also auf  -wertige Zufallsvariablen, angewandt werden.[1] An die Unabhängigkeit der Komponentenabbildungen sind dabei keine weiteren Forderungen gestellt.

Kriterien für UnabhängigkeitBearbeiten

ErzeugendensystemeBearbeiten

Die Anzahl der auf Unabhängigkeit zu überprüfenden Mengen lässt sich reduzieren, wenn ein Erzeuger bekannt ist. Existiert zu jeder σ-Algebra   ein durchschnittsstabiler Erzeuger  , gilt also  , so genügt es, die Unabhängigkeit auf den Erzeugern zu überprüfen. Das Kriterium reduziert sich dann zu

 

für alle   und alle endlichen Teilmengen   von  . Für diskrete Wahrscheinlichkeitsräume wählt man als Erzeuger meist die Punktmengen  , für reelle Zufallsvariablen die halboffenen Intervalle als Erzeuger der Borelsche σ-Algebra.

Endliche FamilienBearbeiten

Ist die Familie von Zufallsvariablen und damit auch die Indexmenge endlich, zum Beispiel mit Indexmenge  , so genügt es

 

für alle   zu überprüfen. Auf die Überprüfung der Teilmengen   kann verzichtet werden. Dies folgt daraus, dass   ist. Der Fall mit   folgt dann automatisch aus dem obigen Fall, man setzt für   dann   und erhält daraus die Aussage für die kleinere Indexmenge.

Für endliche Familien diskreter ZufallsvariablenBearbeiten

Beide oben genannten Kriterien lassen sich für eine endliche Familie von Zufallsvariablen, die Werte in einem diskreten Messraum annehmen zusammenfassen. Sei   und seien die   Zufallsvariablen von   nach   und sei   diskret, also endlich oder abzählbar unendlich. Dann sind die Zufallsvariablen genau dann unabhängig, wenn

 

für alle   gilt.

Für endliche Familien reeller ZufallsvariablenBearbeiten

Für endliche Familien reellwertiger Zufallsvariablen ergibt sich folgendes Kriterium: Die Zufallsvariablen   sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn

 

für alle   gilt. Sind also   die Verteilungsfunktionen der   sowie   die gemeinsame Verteilungsfunktion, dann sind die   genau dann stochastisch unabhängig, wenn

 

gilt. Falls die   eine gemeinsame Dichtefunktion   besitzen, so sind sie genau dann stochastisch unabhängig, wenn

 

gilt. Dabei bezeichnet   die Randdichte von  .

Existenz unabhängiger ZufallsvariablenBearbeiten

Für abzählbar unendliche Familien von Zufallsvariablen stellt sich die Frage, ob überhaupt ein „genügend großer“ Wahrscheinlichkeitsraum existiert, so dass die gesamte Familie auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum unabhängig ist. Es ist nicht offensichtlich, dass dies möglich ist, alternativ könnte die Unabhängigkeit eine zu starke Forderung sein, da die Initial-σ-Algebren bei vielen Zufallsvariablen immer zwangsläufig abhängig sind.

Tatsächlich lässt sich die Frage aber mittels des Produktmaßes positiv beantworten. Betrachtet man das unendliche Produktmodell

 

und definiert als Familie von Zufallsvariablen genau die Projektionen auf die i-ten Komponenten  , so ist diese Familie per Definition des Produktmodells und des Produktmaßes unabhängig und die Projektionen   haben genau die Verteilung   auf dem Ereignisraum  . Das Produktmodell ist also groß genug, um eine unabhängige Familie von Zufallsvariablen zu enthalten. Andererseits wird dadurch das Problem der Existenz von unendlich vielen unabhängigen Zufallsvariablen auf die Existenz eines unendlichen Produktmaßes zurückgeführt, was nicht selbstverständlich ist. Diese Existenzfrage wird beispielsweise durch den Satz von Andersen-Jessen für beliebige Indexmengen positiv beantwortet, kann aber auch für abzählbare Indexmengen über den Satz von Ionescu-Tulcea oder für Borel'sche Räume über den Erweiterungssatz von Kolmogorov erfolgen.

Unkorreliertheit und UnabhängigkeitBearbeiten

Zwei Zufallsvariablen   heißen unkorreliert, wenn ihre Kovarianz   gleich null ist.

Aus Unabhängigkeit der Zufallsvariablen   folgt immer ihre Unkorreliertheit. Sind nämlich die Zufallsvariablen unabhängig, so gilt für den Erwartungswert   und demnach

 .

Dabei folgt die erste Gleichheit aus dem Verschiebungssatz für die Kovarianz und die zweite aus der Unabhängigkeit der Zufallsvariablen und der obigen Folgerung für den Erwartungswert.

Umgekehrt folgt aus Unkorreliertheit nicht stochastische Unabhängigkeit. Ein Beispiel dafür sind die Zufallsvariable  , die gleichverteilt auf   ist und  . Es gilt dann

 ,

die Zufallsvariablen sind also unkorreliert. Sie sind aber nicht unabhängig, denn es ist zum Beispiel

 

und

 .

Die Abhängigkeit folgt dann aus  .

Analyse auf AbhängigkeitBearbeiten

Für die Analyse auf Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen kann man auch testen, ob der Korrelationskoeffizient Null ist. Wenn die Hypothese abgelehnt wird, geht man davon aus, dass diese Variablen stochastisch abhängig sind. Der Umkehrschluss ist allerdings nicht zulässig, denn es können Abhängigkeitsstrukturen vorliegen, die der Korrelationskoeffizient nicht erfassen kann. Jedoch sind beispielsweise unkorrelierte, gemeinsam normalverteilte Zufallsvariablen auch stochastisch unabhängig.

Unabhängigkeit von Zufallsvariablen und MengensystemenBearbeiten

Im Rahmen des bedingten Erwartungswertes wird teilweise auch von der Unabhängigkeit einer Zufallsvariable   und eines Mengensystems   gesprochen. Die Zufallsvariable und das Mengensystem heißen unabhängig, wenn das Mengensystem   und die Initial-σ-Algebra   der Zufallsvariable unabhängige Mengensysteme sind.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Mittels des bedingten Erwartungswertes lässt sich sowohl die Unabhängigkeit von Mengensystemen als auch die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen zur bedingten Unabhängigkeit erweitern.

LiteraturBearbeiten

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6.
  • Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5.
  • Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7.
  • Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2.
  • A. M. Prochorow: Independence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 ([1]).

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, S. 95, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.