Ein Produktmodell, teilweise auch Produktexperiment ist ein Begriff aus der Stochastik, einem Teilbereich der Mathematik. Ein Produktmodell formalisiert die Vorstellung, dass ein Versuch, beispielsweise ein Münzwurf, beliebig oft unabhängig hintereinander ausgeführt werden kann. In diesem Zusammenhang spricht man auch von dem Produkt von Wahrscheinlichkeitsräumen.

Definition

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Gegeben sei eine endliche oder abzählbar unendliche Indexmenge  , also   oder   und für jedes   sei ein Wahrscheinlichkeitsraum   gegeben. Dabei ist   die Ergebnismenge,   das Ereignissystem, eine σ-Algebra, und   ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Dann heißt der Wahrscheinlichkeitsraum

 

das Produkt der Wahrscheinlichkeitsräume   oder einfach ein Produktexperiment oder Produktmodell. Hierbei ist

 

das kartesische Produkt der Ergebnismengen,

 

die Produkt-σ-Algebra der σ-Algebren   und

 

das Produktmaß der Wahrscheinlichkeitsmaße  .

Beispiele

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Es sei   und für jedes   ist   und  . Jedes der Einzelexperimente ist also ein fairer Münzwürf. Das fünffache Produktexperiment ist dann also das fünffache unabhängige Werfen einer Münze, der Produktraum ist dann  , wobei das Wahrscheinlichkeitsmaß definiert ist durch die Gleichverteilung auf  , also   für alle  .

Eigenschaften und Bemerkungen

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  • Sind die   alle gleich, so schreibt man auch   für den Produktraum.
  • Ist   die Projektion von der  -ten Komponente des Produktraumes nach  , so nennt man die Verteilung von   auch eine Marginalverteilung oder eine Randverteilung.

Existenz

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Probleme bei der Konstruktion eines allgemeinen Produktmodells bilden vor allem die Produktmaße. Im Falle von endlich vielen Wiederholungen garantiert der Maßerweiterungssatz von Carathéodory die Existenz. Außerdem gibt es Existenzaussagen für abzählbar unendliche Produkte von endlichen Wahrscheichlichkeitsräumen. Erst der Satz von Andersen-Jessen löst den allgemeinen Fall für abzählbar oder überabzählbar viele Produkte von Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Verwendung

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Produktexperimente finden vielfältige Anwendung in der Statistik und Stochastik. So bilden sie beispielsweise die Basis für die Definition einiger Wahrscheinlichkeitsmaße, die sich als Wartezeitverteilungen definieren lassen wie die geometrische Verteilung. In der Statistik ermöglichen sie das Modellieren von Situationen, in denen Stichproben sukzessive vergrößert werden, um dadurch beispielsweise Aussagen über die Qualität von Schätzern treffen zu können.

Literatur

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