Geometrische Verteilung

Geometrische Verteilung
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Wahrscheinlichkeitsfunktion der geometrischen Verteilung (Variante B) für (blau), (grün) und (rot)
Verteilungsfunktion
Parameter p ∈ (0,1) – Einzel-Erfolgswahrscheinlichkeit
Erwartungswert (A) bzw. (B)
Varianz
Schiefe
Wölbung

Die geometrische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik, die univariat ist und zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zählt. Sie wird aus unabhängigen Bernoulli-Experimenten abgeleitet und in zwei Varianten definiert:

Variante A
die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Bernoulli-Versuche, die notwendig sind, um einen Erfolg zu haben. Diese Verteilung ist auf der Menge definiert.
Variante B
die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Fehlversuche vor dem ersten Erfolg. Diese Verteilung ist auf der Menge definiert.

Die beiden Varianten stehen in der Beziehung . Welche davon man „geometrische Verteilung“ nennt, wird entweder vorher festgelegt oder man wählt diejenige, die gerade zweckmäßiger ist.

Die geometrische Verteilung wird verwendet:

  • bei der Analyse der Wartezeiten bis zum Eintreffen eines bestimmten Ereignisses.
    • bei der Lebensdauerbestimmung von Geräten und Bauteilen, d. h. dem Warten bis zum ersten Ausfall
  • bei der Bestimmung der Anzahl häufiger Ereignisse zwischen unmittelbar aufeinanderfolgenden seltenen Ereignissen wie zum Beispiel Fehlern:
    • Bestimmung der Zuverlässigkeit von Geräten (MTBF)
    • Bestimmung des Risikos in der Versicherungsmathematik
    • Bestimmung der Fehlerrate in der Datenübertragung, zum Beispiel Anzahl der erfolgreich übertragenen TCP-Pakete zwischen zwei Paketen mit Retransmission

Definition der geometrischen Verteilung Bearbeiten

Eine diskrete Zufallsgröße   oder   mit dem Parameter   (Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg),   (Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg) genügt der geometrischen Verteilung  , wenn:

Variante A
Für die Wahrscheinlichkeit, dass man genau   Versuche benötigt, um zum ersten Erfolg zu kommen, gilt
 
Variante B
Für die Wahrscheinlichkeit,   Fehlversuche vor dem ersten Erfolg zu haben, gilt
 

In beiden Fällen bilden die Werte für die Wahrscheinlichkeiten eine geometrische Folge.

Damit besitzt die geometrische Verteilung die folgenden Verteilungsfunktionen

Variante A
 
Variante B
 

Eigenschaften Bearbeiten

Erwartungswert Bearbeiten

Die Erwartungswerte der beiden geometrischen Verteilungen sind

Variante A
 
Variante B
 .

Der Erwartungswert kann auf verschiedene Weisen hergeleitet werden:

  •  .


  •  
 .
Dabei ist  , da   die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist.
  • Der Erwartungswert   lässt sich per Fallunterscheidung zerlegen. Mit Wahrscheinlichkeit   geht das erste Experiment erfolgreich aus, das heißt,   wird mit 1 realisiert. Mit Wahrscheinlichkeit   ist das erste Experiment erfolglos, aber der Erwartungswert für die Anzahl der dann noch folgenden Experimente ist wegen der Gedächtnislosigkeit wiederum  . Also gilt
 , also  .
  • Führt man   Experimente durch, so ist der Erwartungswert für die Anzahl der erfolgreichen Experimente  . Daher ist der zu erwartende Abstand zwischen zwei erfolgreichen Experimenten (einschließlich eines erfolgreichen Experimentes)  , also  .

Varianz Bearbeiten

Die Varianzen der beiden geometrischen Verteilungen sind

 .

Die Herleitung kann erfolgen über

   
 
 
 
 
 
 .

Gedächtnislosigkeit Bearbeiten

Die geometrische Verteilung ist eine gedächtnislose Verteilung, d. h., es gilt für

Variante A

 

Variante B

 

Ist also von einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen bekannt, dass sie größer als der Wert   ist (Variante A) bzw. mindestens den Wert   hat (Variante B), so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie diesen Wert um   übertrifft, genau so groß wie die, dass eine identische Zufallsvariable überhaupt den Wert   annimmt.

Die Gedächtnislosigkeit ist eine definierende Eigenschaft; die geometrische Verteilung ist also die einzig mögliche gedächtnislose diskrete Verteilung. Ihr stetiges Pendant hierbei ist die Exponentialverteilung.

Bezug zur Reproduktivität Bearbeiten

Die Summe   unabhängiger geometrisch verteilter Zufallsgrößen   mit demselben Parameter   ist nicht geometrisch verteilt, sondern negativ binomialverteilt. Somit ist die Familie der geometrischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht reproduktiv.

Schiefe Bearbeiten

Die Schiefe ergibt sich für beide Varianten zu:

 .

Wölbung Bearbeiten

Die Wölbung lässt sich für beide Varianten ebenfalls geschlossen darstellen als

 .

Damit ist der Exzess

 .

Modus Bearbeiten

Variante A

Bei Variante A ist der Modus 1.

Variante B

Bei Variante B ist der Modus 0.

Median Bearbeiten

Variante A

Bei Variante A ist der Median

 .

Hierbei ist   die Gaussklammer. Der Median ist nicht notwendigerweise eindeutig.

Variante B

Hier ist der Median

 .

Auch er muss nicht eindeutig sein.

Entropie Bearbeiten

Die Entropie beider Varianten ist

 .

Charakteristische Funktion Bearbeiten

Die charakteristische Funktion hat die Form

Variante A
 .
Variante B
 .

Momenterzeugende Funktion Bearbeiten

Die momenterzeugende Funktion der geometrischen Verteilung ist

Variante A
 
Variante B
 .

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Bearbeiten

Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion der geometrischen Verteilung ist

Variante A
 
Variante B
 .

Beziehungen zu anderen Verteilungen Bearbeiten

Beziehung zur negativen Binomialverteilung Bearbeiten

Verallgemeinerung auf mehrere Erfolge
Eine Verallgemeinerung der geometrischen Verteilung stellt die negative Binomialverteilung dar, die die Wahrscheinlichkeit angibt, dass für   Erfolge   Versuche notwendig sind bzw. (in einer alternativen Darstellung) dass der  -te Erfolg eintritt, nachdem bereits   Misserfolge eingetreten sind.

Umgekehrt ist die geometrische Verteilung eine negative Binomialverteilung mit  . Somit gilt für die Faltung der geometrische Verteilung  .

Beziehung zur Exponentialverteilung Bearbeiten

Konvergenz der geometrischen Verteilung
Für eine Folge   geometrisch verteilter Zufallsvariablen mit Parametern   gelte   mit einer positiven Konstante  . Dann konvergiert die Folge   für große   gegen eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter  .

In Analogie zur diskreten geometrischen Verteilung bestimmt die stetige Exponentialverteilung die Wartezeit bis zum ersten Eintreffen eines seltenen Poisson-verteilten Ereignisses. Die Exponentialverteilung ist also das kontinuierliche Analogon zur diskreten geometrischen Verteilung.

Beziehung zur zusammengesetzten Poisson-Verteilung Bearbeiten

Die geometrische Verteilung in der Variante B entsteht als Spezialfall der zusammengesetzten Poisson-Verteilung in Kombination mit der logarithmischen Verteilung. Als Parameter wählt man   und  . Damit ist die geometrische Verteilung auch unendlich teilbar.

Beziehung zum Urnenmodell Bearbeiten

Die geometrische Verteilung lässt sich aus dem Urnenmodell herleiten, wenn

 

ist. Dann entsteht die geometrische Verteilung beim Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit   Kugeln, von denen   markiert sind. Sie ist dann die Wartezeit auf den ersten Erfolg.

Zufallszahlen Bearbeiten

Zufallszahlen zur geometrischen Verteilung werden üblicherweise mit Hilfe der Inversionsmethode erzeugt. Diese Methode bietet sich bei der geometrischen Verteilung besonders an, da die Einzelwahrscheinlichkeiten der einfachen Rekursion   genügen. Die Inversionsmethode ist hier also nur mit rationalen Operationen (Addition, Multiplikation) und ohne die Verteilungsfunktion vorher zu berechnen und abzuspeichern durchführbar, was einen schnellen Algorithmus zur Simulation garantiert.