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Erwartungswert

Lageparameter einer Zufallsvariable

Der Erwartungswert (selten und doppeldeutig Mittelwert), der oft mit abgekürzt wird, ist ein Grundbegriff der Stochastik. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen beschreibt die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Er ergibt sich zum Beispiel bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments als Durchschnitt der Ergebnisse. Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt, in welcher Form genau die Durchschnitte der Ergebnisse bei wachsender Anzahl der Experimente gegen den Erwartungswert streben, oder anders gesagt, wie die Stichprobenmittelwerte bei wachsender Stichprobengröße gegen den Erwartungswert konvergieren.

Er bestimmt die Lokalisation (Lage) der Verteilung der Zufallsvariablen und ist vergleichbar mit dem empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung in der deskriptiven Statistik. Er berechnet sich als nach Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt. Er muss selbst jedoch nicht einer dieser Werte sein. Insbesondere kann der Erwartungswert die Werte annehmen.

Weil der Erwartungswert nur von der Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängt, wird vom Erwartungswert einer Verteilung gesprochen, ohne Bezug auf eine Zufallsvariable. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen kann als Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse betrachtet werden und wird daher als ihr erstes Moment bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

MotivationBearbeiten

Die Augenzahlen beim Würfelwurf können als unterschiedliche Ausprägungen einer Zufallsvariablen   betrachtet werden. Weil die (tatsächlich beobachteten) relativen Häufigkeiten sich gemäß dem Gesetz der großen Zahlen mit wachsendem Stichprobenumfang   den theoretischen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Augenzahlen annähern, muss der Mittelwert gegen den Erwartungswert von   streben. Zu dessen Berechnung werden die möglichen Ausprägungen mit ihrer theoretischen Wahrscheinlichkeit gewichtet.

 

Wie die Ergebnisse der Würfelwürfe ist der Mittelwert vom Zufall abhängig. Im Unterschied dazu ist der Erwartungswert eine feste Kennzahl der Verteilung der Zufallsvariablen  .

Die Definition des Erwartungswerts steht in Analogie zum gewichteten Mittelwert von empirisch beobachteten Zahlen. Hat zum Beispiel eine Serie von zehn Würfelversuchen die Ergebnisse 4, 2, 1, 3, 6, 3, 3, 1, 4, 5 geliefert, kann der zugehörige Mittelwert

 

alternativ berechnet werden, indem zunächst gleiche Werte zusammengefasst und nach ihrer relativen Häufigkeit gewichtet werden:

 .

Allgemein lässt der Mittelwert der Augenzahlen in   Würfen sich wie

 

schreiben, worin   die relative Häufigkeit der Augenzahl   bezeichnet.

Begriff und NotationBearbeiten

Das Konzept des Erwartungswertes geht auf Christiaan Huygens zurück. In einer Abhandlung über Glücksspiele von 1656, „Van rekeningh in spelen van geluck“ bezeichnet Huygens den erwarteten Gewinn eines Spiels als „het is my soo veel weerdt“. Frans van Schooten verwendete in seiner Übersetzung von Huygens' Text ins Lateinische den Begriff expectatio. Bernoulli übernahm in seiner Ars conjectandi den von van Schooten eingeführten Begriff in der Form valor expectationis.[1]

Im westlichen Bereich wird für den Operator   verwendet, speziell in anglophoner Literatur  .

In der russischsprachigen Literatur findet sich die Bezeichnung  .[2]

Die Bezeichnung   betont die Eigenschaft als nicht vom Zufall abhängiges erstes Moment. In der Physik findet die Bra-Ket-Notation Verwendung.[3] Insbesondere wird   statt   für den Erwartungswert einer Größe   geschrieben.

DefinitionenBearbeiten

Ist eine Zufallsvariable diskret oder besitzt sie eine Dichte, so existieren die folgenden Formeln für den Erwartungswert.

Erwartungswert einer diskreten reellen ZufallsvariableBearbeiten

Im reellen diskreten Fall errechnet sich der Erwartungswert als die Summe der Produkte aus den Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses des Experiments und den „Werten“ dieser Ergebnisse.

Ist   eine reelle diskrete Zufallsvariable, die die Werte   mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten   annimmt (mit   als abzählbarer Indexmenge), so errechnet sich der Erwartungswert   im Falle der Existenz mit:

 

Es ist zu beachten, dass dabei nichts über die Reihenfolge der Summation ausgesagt wird (siehe summierbare Familie).

Ist  , so besitzt   genau dann einen endlichen Erwartungswert  , wenn die Konvergenzbedingung

  erfüllt ist, d. h. die Reihe für den Erwartungswert absolut konvergent ist.

Für nichtnegative ganzzahlige Zufallsvariablen ist oft die folgende Eigenschaft hilfreich[4]

 

Erwartungswert einer reellen Zufallsvariable mit DichtefunktionBearbeiten

 
Der Erwartungswert balanciert die Wahrscheinlichkeitsmasse – hier die Masse unter der Dichte einer Beta(α,β)-Verteilung mit Erwartungswert α/(α+β).

Hat eine reelle Zufallsvariable   eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  , das heißt hat das Bildmaß   diese Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes  , so berechnet sich der Erwartungswert im Falle der Existenz als

(1)  

In vielen Anwendungsfällen liegt (im Allgemeinen uneigentliche) Riemann-Integrierbarkeit vor und es gilt:

(2)  

Gleichwertig zu dieser Gleichung ist, wenn   Verteilungsfunktion von   ist:

(3)  

(2) und (3) sind unter der gemeinsamen Voraussetzung (  ist Dichtefunktion und   ist Verteilungsfunktion von  ) äquivalent, was mit schulgemäßen Mitteln bewiesen werden kann.[5]

Für nichtnegative Zufallsvariablen folgt daraus die wichtige Beziehung zur Zuverlässigkeitsfunktion  

 

Allgemeine DefinitionBearbeiten

Der Erwartungswert wird entsprechend als das Integral bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes definiert: Ist   eine P-integrierbare oder P-quasiintegrierbare Zufallsvariable von einem Wahrscheinlichkeitsraum   nach  , wobei   die Borelsche σ-Algebra über   ist, so wird definiert

 .

Die Zufallsvariable   besitzt genau dann einen Erwartungswert, wenn sie quasiintegrierbar ist, also die Integrale

  und  

nicht beide unendlich sind, wobei   und   den Positiv- sowie den Negativteil von   bezeichnen. In diesem Fall kann   oder   gelten.

Der Erwartungswert ist genau dann endlich, wenn   integrierbar ist, also die obigen Integrale über   und   beide endlich sind. Dies ist äquivalent mit

 

In diesem Fall schreiben viele Autoren, der Erwartungswert existiere oder   sei eine Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert, und schließen damit den Fall   bzw.   aus.

Erwartungswert von zwei Zufallsvariablen mit gemeinsamer DichtefunktionBearbeiten

Haben die integrierbaren Zufallsvariablen   und   eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  , so berechnet sich der Erwartungswert einer Funktion   von   und   nach dem Satz von Fubini zu

 

Der Erwartungswert von   ist nur dann endlich, wenn das Integral

 

endlich ist.

Insbesondere ist:

 

Aus der Randdichte errechnet sich der Erwartungswert wie bei univariaten Verteilungen:

 

Dabei ist die Randdichte   gegeben durch

 

Elementare EigenschaftenBearbeiten

LinearitätBearbeiten

Der Erwartungswert ist linear, es gilt also für beliebige, nicht notwendigerweise unabhängige Zufallsvariablen  , dass

 

ist. Als Spezialfälle ergeben sich

 ,
 

und

 .

Die Linearität lässt sich auch auf endliche Summen erweitern:

 

Die Linearität des Erwartungswertes folgt aus der Linearität des Integrals.

MonotonieBearbeiten

Ist   fast sicher, und existieren  , so gilt

 .

Wahrscheinlichkeiten als ErwartungswerteBearbeiten

Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen lassen sich auch über den Erwartungswert ausdrücken. Für jedes Ereignis   gilt

 ,

wobei   die Indikatorfunktion von   ist.

Dieser Zusammenhang ist oft nützlich, etwa zum Beweis der Tschebyschow-Ungleichung.

DreiecksungleichungBearbeiten

Es gilt

 

und

 

BeispieleBearbeiten

WürfelnBearbeiten

 
Eine Illustration der Konvergenz von Durchschnitten des Würfelns eines Würfels zum Erwartungswert von 3,5, wenn die Anzahl an Versuchen steigt.

Das Experiment sei ein Würfelwurf. Als Zufallsvariable   betrachten wir die gewürfelte Augenzahl, wobei jede der Zahlen 1 bis 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/6 gewürfelt wird.

 

Wenn beispielsweise 1000-mal gewürfelt wird, man also das Zufallsexperiment 1000-mal wiederholt und die geworfenen Augenzahlen zusammenzählt und durch 1000 dividiert, ergibt sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in der Nähe von 3,5. Es ist jedoch unmöglich, diesen Wert mit einem einzigen Würfelwurf zu erzielen.

Sankt-Petersburg-ParadoxonBearbeiten

Das Sankt-Petersburg-Paradoxon beschreibt ein Glücksspiel, dessen zufälliger Gewinn   einen unendlichen Erwartungswert hat. Gemäß der klassischen Entscheidungstheorie, die auf der Erwartungswertregel   basiert, sollte man daher einen beliebig hohen Einsatz riskieren. Da die Wahrscheinlichkeit für einen Verlust des Einsatzes aber 50 % beträgt, erscheint diese Empfehlung nicht rational. Eine Lösung des Paradoxons stellt die Verwendung einer logarithmischen Nutzenfunktion dar.

Zufallsvariable mit DichteBearbeiten

Gegeben ist die reelle Zufallsvariable   mit der Dichtefunktion

 

wobei   die Eulersche Konstante bezeichnet.

Der Erwartungswert von   berechnet sich als

 

Allgemeine DefinitionBearbeiten

Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum   mit  ,   die Potenzmenge von   und   für  . Der Erwartungswert der Zufallsvariablen   mit   und   ist

 

Da   eine diskrete Zufallsvariable ist mit   und  , kann der Erwartungswert alternativ auch berechnet werden als

 

Weitere EigenschaftenBearbeiten

Sigma-AdditivitätBearbeiten

Sind alle Zufallsvariablen   fast sicher nichtnegativ, so lässt sich die endliche Additivität sogar zur  -Additivität erweitern:

 

Erwartungswert des Produkts von n stochastisch unabhängigen ZufallsvariablenBearbeiten

Wenn die Zufallsvariablen   stochastisch voneinander unabhängig und integrierbar sind, gilt:

 

insbesondere auch

  für  

Erwartungswert des Produkts von nicht stochastisch unabhängigen ZufallsvariablenBearbeiten

Falls die Zufallsvariablen   und   nicht stochastisch unabhängig sind, gilt für deren Produkt:

 

Dabei ist   die Kovarianz zwischen   und  .

Erwartungswert einer zusammengesetzten ZufallsvariableBearbeiten

Ist   eine zusammengesetzte Zufallsvariable, sprich sind   unabhängige Zufallsvariablen und sind die   identisch verteilt und ist   auf   definiert, so lässt sich   darstellen als

 .

Existieren die ersten Momente von  , so gilt

 .

Diese Aussage ist auch als Formel von Wald bekannt. Sie wird z. B. in der Schadensversicherungsmathematik benutzt.

Monotone KonvergenzBearbeiten

Sind die nichtnegativen Zufallsvariablen   fast sicher punktweise monoton wachsend und konvergieren fast sicher gegen eine weitere Zufallsvariable  , so gilt

 .

Dies ist der Satz von der monotonen Konvergenz in der wahrscheinlichkeitstheoretischen Formulierung.

Berechnung mittels der kumulantenerzeugenden FunktionBearbeiten

Die kumulantenerzeugende Funktion einer Zufallsvariable ist definiert als

 .

Wird sie abgeleitet und an der Stelle 0 ausgewertet, so ist der Erwartungswert:

 .

Die erste Kumulante ist also der Erwartungswert.

Berechnung mittels der charakteristischen FunktionBearbeiten

Die charakteristische Funktion einer Zufallsvariable   ist definiert als  . Mit ihrer Hilfe lässt sich durch Ableiten der Erwartungswert der Zufallsvariable bestimmen:

 .

Berechnung mittels der momenterzeugenden FunktionBearbeiten

Ähnlich wie die charakteristische Funktion ist die momenterzeugende Funktion definiert als

 .

Auch hier lässt sich der Erwartungswert einfach bestimmen als

 .

Dies folgt daraus, dass der Erwartungswert das erste Moment ist und die k-ten Ableitungen der momenterzeugenden Funktion an der 0 genau die k-ten Momente sind.

Berechnung mittels der wahrscheinlichkeitserzeugenden FunktionBearbeiten

Wenn   nur natürliche Zahlen als Werte annimmt, lässt sich der Erwartungswert für auch mithilfe der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion

 .

berechnen. Es gilt dann

 ,

falls der linksseitige Grenzwert existiert.

Beste ApproximationBearbeiten

Ist   eine Zufallsgröße auf einem Wahrscheinlichkeitsraum  , so beschreibt   die beste Approximation an   im Sinne der Minimierung von  , wobei a eine reelle Konstante ist. Dies folgt aus dem Satz über die beste Approximation, da

 

für alle konstanten   ist, wobei   das  -Standardnormalskalarprodukt bezeichne. Diese Auffassung des Erwartungswertes macht die Definition der Varianz als minimaler mittlerer quadratischer Abstand sinnvoll, siehe auch Fréchet-Prinzip.

Erwartungswerte von Funktionen von ZufallsvariablenBearbeiten

Wenn   wieder eine Zufallsvariable ist, so kann der Erwartungswert von  , statt mittels der Definition, auch mittels der Formel bestimmt werden:

 

Auch in diesem Fall existiert der Erwartungswert nur, wenn

 

konvergiert.

Bei einer diskreten Zufallsvariablen wird eine Summe verwendet:

 

Ist die Summe nicht endlich, dann muss die Reihe absolut konvergieren, damit der Erwartungswert existiert.

Verwandte Konzepte und VerallgemeinerungenBearbeiten

LageparameterBearbeiten

Wird der Erwartungswert als Schwerpunkt der Verteilung einer Zufallsvariable aufgefasst, so handelt es sich um einen Lageparameter. Dieser gibt an, wo sich der Hauptteil der Verteilung befindet. Weitere Lageparameter sind

  1. Der Modus: Der Modus gibt an, an welcher Stelle die Verteilung ein Maximum hat, sprich bei diskreten Zufallsvariablen die Ausprägung mit der größten Wahrscheinlichkeit und bei stetigen Zufallsvariable die Maximastellen der Dichtefunktion. Der Modus existiert zwar im Gegensatz zum Erwartungswert immer, muss aber nicht eindeutig sein. Beispiele für nichteindeutige Modi sind bimodale Verteilungen.
  2. Der Median ist ein weiterer gebräuchlicher Lageparameter. Er gibt an, welcher Wert auf der x-Achse die Wahrscheinlichkeitsdichte so trennt, dass links und rechts des Medians jeweils die Hälfte der Wahrscheinlichkeit anzutreffen ist. Auch der Median existiert immer, muss aber (je nach Definition) nicht eindeutig sein.

MomenteBearbeiten

Wird der Erwartungswert als erstes Moment aufgefasst, so ist er eng verwandt mit den Momenten höherer Ordnung. Da diese wiederum durch den Erwartungswert in Verknüpfung mit einer Funktion   definiert werden, sind sie gleichsam ein Spezialfall. Einige der bekannten Momente sind:

  • Die Varianz: Zentriertes zweites Moment,  . Hierbei ist   der Erwartungswert.
  • Die Schiefe: Zentriertes drittes Moment, normiert auf die dritte Potenz der Standardabweichung  . Es ist  .
  • Die Wölbung: Zentriertes viertes Moment, normiert auf  . Es ist  .

Bedingter ErwartungswertBearbeiten

Der bedingte Erwartungswert ist eine Verallgemeinerung des Erwartungswertes auf den Fall, dass gewisse Ausgänge des Zufallsexperiments bereits bekannt sind. Damit lassen sich bedingte Wahrscheinlichkeiten verallgemeinern und auch die bedingte Varianz definieren. Der bedingte Erwartungswert spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der stochastischen Prozesse.

Quantenmechanischer ErwartungswertBearbeiten

Ist   die Wellenfunktion eines Teilchens in einem bestimmten Zustand   und ist   ein Operator, so ist

 

der quantenmechanische Erwartungswert von   im Zustand  .   ist hierbei der Ortsraum, in dem sich das Teilchen bewegt,   ist die Dimension von  , und ein hochgestellter Stern steht für komplexe Konjugation.

Lässt sich   als formale Potenzreihe   schreiben (und das ist oft so), so wird die Formel verwendet

 

Der Index an der Erwartungswertsklammer wird nicht nur wie hier abgekürzt, sondern manchmal auch ganz weggelassen.

Beispiel

Der Erwartungswert des Aufenthaltsorts in Ortsdarstellung ist

 

Der Erwartungswert des Aufenthaltsorts in Impulsdarstellung ist

 

wobei wir die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Quantenmechanik im Ortsraum identifiziert haben.

Erwartungswert von Matrizen und VektorenBearbeiten

Sei   eine stochastische  -Matrix, mit den stochastischen Variablen   als Elementen, dann ist der Erwartungswert von   definiert als:

 .

Falls ein  -Zufallsvektor   vorliegt gilt:

 .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Vieweg+Teubner, 2008. ISBN 978-3-8348-9465-6. S. 79.
  2. Siehe etwa A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit 1988, S. 52 ff !
  3. John Aldrich: Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics. online
  4. Ross, S. M.:Introduction to probability models, Academic Press, 2007, 9. Auflage, S. 143, ISBN 0-12-598062-0.
  5. H. Wirths : Der Erwartungswert - Skizzen zur Begriffsentwicklung von Klasse 8 bis 13. In : Mathematik in der Schule 1995/Heft 6, S. 330–343.