Mittelwert

Median, arithmetisches, geometrisches oder quadratisches Mittel usw.

Ein Mittelwert (kurz auch nur Mittel; anderes Wort Durchschnitt) ist eine Zahl, die aus gegebenen Zahlen nach einer bestimmten Rechenvorschrift ermittelt wird. Gebräuchlich sind Rechenvorschriften für das arithmetische, das geometrische und das quadratische Mittel. Mit dem Wort Mittel oder Durchschnitt ist meistens das arithmetische Mittel gemeint.

In der Statistik ist der Mittelwert einer der Parameter, die den typischen Wert einer Verteilung charakterisieren bzw. die die zentrale Tendenz einer Verteilung zum Ausdruck bringen (Lageparameter).

Eng verwandt ist der arithmetische Mittelwert mit dem Erwartungswert einer Verteilung. Während der Mittelwert aus konkreten vorliegenden Zahlenwerten ermittelt wird, beruht der Erwartungswert auf der theoretisch zu erwartenden Häufigkeit.

Geschichte Bearbeiten

In der Mathematik treten Mittelwerte, insbesondere die drei klassischen Mittelwerte (arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel), bereits in der Antike auf. Pappos von Alexandria kennzeichnet zehn verschiedene Mittelwerte   von zwei Zahlen   und   ( ) durch spezielle Werte des Streckenverhältnisses  . Auch die Ungleichung zwischen harmonischem, geometrischem und arithmetischem Mittel ist in der Antike bereits bekannt und geometrisch interpretiert. Im 19. und 20. Jahrhundert spielen Mittelwerte in der Analysis eine spezielle Rolle, dort im Wesentlichen im Zusammenhang mit berühmten Ungleichungen und wichtigen Funktionseigenschaften wie Konvexität (Hölder-Ungleichung, Minkowski-Ungleichung, Jensensche Ungleichung usw.). Dabei wurden die klassischen Mittelwerte in mehreren Schritten verallgemeinert, zunächst zu den Potenzmittelwerten (siehe Abschnitt Hölder-Mittel unten) und diese wiederum zu den quasi-arithmetischen Mittelwerten. Die klassische Ungleichung zwischen harmonischem, geometrischem und arithmetischem Mittel geht dabei über in allgemeinere Ungleichungen zwischen Potenzmittelwerten bzw. quasi-arithmetischen Mittelwerten.

Visualisierung des arithmetischen Mittels Bearbeiten

 
Visualisierung des arithmetischen Mittels mit einer Wippe.
Nachrechnung ohne Dimension:
Kugelgewicht gleich   Abstände zum Drehpunkt   gleich   und   ergibt  

Den meistbenutzten Mittelwert, das arithmetische Mittel, kann man z. B. mithilfe gleich schwerer Kugeln auf einer Wippe visualisieren, die aufgrund der Hebelgesetze durch ein Dreieck (Drehpunkt) ausbalanciert sind. Unter der Annahme, dass das Gewicht des Balkens vernachlässigt werden kann, entspricht die Position des Dreiecks, das die Balance herbeiführt, dem arithmetischen Mittel der Kugelpositionen.

Definitionen der drei klassischen Mittelwerte Bearbeiten

 
Geometrische Illustration der klassischen Mittelwerte für den Fall  

Im Folgenden seien   gegebene reelle Zahlen, in der Statistik etwa Messwerte, deren Mittelwert berechnet werden soll.[1]

Arithmetischer Mittelwert Bearbeiten

Das arithmetische Mittel ist die Summe der gegebenen Werte geteilt durch die Anzahl der Werte.

 

Geometrisches Mittel Bearbeiten

Im Fall von Zahlen, die nicht auf Grund ihrer Summe, sondern ihres Produktes interpretiert werden, kann das geometrische Mittel berechnet werden. Dazu werden die Zahlen miteinander multipliziert und die  -te Wurzel gezogen, wobei   der Anzahl der zu mittelnden Zahlen entspricht.

 

Harmonischer Mittelwert Bearbeiten

Das harmonische Mittel findet Verwendung, wenn die Zahlen im Bezug auf eine Einheit definiert sind. Dazu wird die Anzahl der Werte durch die Summe der Kehrwerte der Zahlen geteilt.

 

Beispiele für die Verwendung unterschiedlicher Mittelwerte Bearbeiten

Merkmalsträger   Wert
  3
  2
  2
  2
  3
  4
  5
 
Säulendiagramm zu den Beispielen

Im Folgenden soll beispielhaft an den sieben rechts angegebenen Einträgen in der Wertetabelle gezeigt werden, wo welche Definition des Mittelwerts sinnvoll ist.

Das arithmetische Mittel wird beispielsweise zum Berechnen der Durchschnittsgeschwindigkeit genutzt, die Werte werden also als Geschwindigkeiten interpretiert: Läuft eine Schildkröte erst eine Stunde lang drei Meter pro Stunde, dann drei Stunden lang je zwei Meter und beschleunigt für jeweils eine Stunde nochmals auf drei, vier und fünf Meter pro Stunde, so ergibt sich als arithmetisches Mittel bei einer Strecke von 21 Metern in 7 Stunden:

 

Auch das harmonische Mittel kann zur Berechnung einer durchschnittlichen Geschwindigkeit sinnvoll sein, wenn nicht über gleiche Zeiten, sondern über gleiche Strecken gemessen wird. In dem Fall geben die Werte der Tabelle die Zeiten an, in der eine einheitliche Strecke zurückgelegt wird: Die Schildkröte laufe den 1. Meter mit 3 Metern pro Stunde, weitere 3 m mit jeweils 2 m/h und beschleunigt auf den letzten 3 Metern nochmals auf jeweils 3, 4 und 5 m/h. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt sich bei einer Strecke von 7 Metern in   Stunden:

 

Mit dem geometrischen Mittel errechnet man den mittleren Wachstumsfaktor. Die Wertetabelle wird also als die Angabe von Wachstumsfaktoren interpretiert. Eine Bakterienkultur wachse beispielsweise am ersten Tag auf das Fünffache, am zweiten auf das Vierfache, dann zweimal auf das Dreifache und die letzten drei Tage verdoppelt sie sich täglich. Der Bestand nach dem siebten Tag errechnet sich also durch   Alternativ kann mit dem geometrischen Mittel der Endbestand ermittelt werden, denn

 

und somit ist

 

Ein tägliches Wachstum der Bakterienkultur um das 2,83-Fache hätte also nach sieben Tagen zum selben Ergebnis geführt.

Gemeinsame Definition der drei klassischen Mittelwerte Bearbeiten

Die Idee, die den drei klassischen Mittelwerten zugrunde liegt, lässt sich auf folgende Weise allgemein formulieren:

Beim arithmetischen Mittel sucht man die Zahl  , für die

 

gilt, wobei sich die Summe links über   Summanden erstreckt. Das arithmetische Mittel mittelt also bzgl. der arithmetischen Verknüpfung „Summe“. Anschaulich bestimmt man mit dem arithmetischen Mittel aus Stäben verschiedener Länge einen mit einer durchschnittlichen oder mittleren Länge.

Beim geometrischen Mittel sucht man die Zahl  , für die

 

gilt, wobei sich das Produkt links über   Faktoren erstreckt. Das geometrische Mittel mittelt also bzgl. der arithmetischen Verknüpfung „Produkt“.

Das harmonische Mittel   löst die Gleichung

 

Zusammenhänge Bearbeiten

Zusammenhang mit Erwartungswert Bearbeiten

Der generelle Unterschied zwischen einem Mittelwert und dem Erwartungswert ist, dass der Mittelwert auf einen konkreten Datensatz angewendet wird, während der Erwartungswert Information über die Verteilung einer Zufallsvariablen liefert. Von Bedeutung ist die Verbindung zwischen diesen beiden Parametern. Wenn der Datensatz, auf den das Mittel angewendet wird, eine Stichprobe der Verteilung der Zufallsvariablen ist, ist das arithmetische Mittel der erwartungstreue und konsistente Schätzer des Erwartungswertes der Zufallsvariablen. Da der Erwartungswert dem ersten Moment einer Verteilung entspricht, wird der Mittelwert daher häufig genutzt, um aus empirischen Daten die Verteilung einzuschränken. Im Falle der häufig genutzten Normalverteilung, die durch die ersten beiden Momente vollkommen festgelegt ist, ist der Mittelwert daher von entscheidender Bedeutung.

Zusammenhang von arithmetischem, harmonischem und geometrischem Mittel Bearbeiten

Der Kehrwert des harmonischen Mittels ist gleich dem arithmetischen Mittel der Kehrwerte der Zahlen.

Für   hängen die Mittelwerte untereinander in folgender Weise zusammen:

 

oder nach dem geometrischen Mittel aufgelöst

 

Ungleichung der Mittelwerte Bearbeiten

Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel vergleicht die Werte des arithmetischen und geometrischen Mittels zweier gegebener Zahlen: Es gilt für positive Variable stets

 

Die Ungleichung lässt sich auch auf weitere Mittelwerte ausdehnen, z. B. (für positive Variable)

 

Für zwei (positive) Variablen gibt es auch eine grafische Veranschaulichung:

Geometrischer Beweis der Ungleichung für Mittelwerte zweier Variablen,
Visualisierung von arithmetischem, geometrischem und harmonischem Mittel nach Pappos von Alexandria[2]
Vergleich von arithmetischem, geometrischem, harmonischem und weiteren Mittelwerten zweier positiver reeller Zahlen   und   in dimensionsloser Darstellung

Das geometrische Mittel folgt direkt aus dem euklidischen Höhensatz und das harmonische Mittel aus dem euklidischen Kathetensatz mit der Beziehung

 

Vergleich zu anderen Maßen der zentralen Tendenz Bearbeiten

 
Vergleich zwischen Modus, Median und „Mittel“ (eigentlich: Erwartungswert) zweier Log-Normalverteilungen

Häufig wird ein Mittelwert genutzt, um einen zentralen Wert eines Datensatz zu beschreiben. Dabei gibt es weitere Parameter, die ebenfalls diese Funktion erfüllen: Median und Modus. Der Median beschreibt einen Wert, der den Datensatz in zwei Hälften teilt, während der Modus den Wert mit der höchsten Häufigkeit im Datensatz angibt. Im Vergleich zum Median ist der Mittelwert anfälliger für Ausreißer und daher weniger robust. Der Median wird allgemein mit der folgenden Rechenvorschrift ermittelt.[1]

 

Weitere Mittelwerte und ähnliche Funktionen Bearbeiten

Gewichtete Mittel Bearbeiten

Die gewichteten oder auch gewogenen Mittelwerte entstehen, wenn man den einzelnen Werten unterschiedliche Gewichte zuordnet, mit denen sie in das Gesamtmittel einfließen; zum Beispiel, wenn bei einer Prüfung mündliche und schriftliche Leistung unterschiedlich stark in die Gesamtnote einfließen.

Die genauen Definitionen finden sich hier:

Quadratisches und kubisches Mittel Bearbeiten

Weitere Mittel, die Verwendung finden, sind das quadratische Mittel und das kubische Mittel. Das quadratische Mittel wird mit der folgenden Rechenvorschrift berechnet:

 

Das kubische Mittel wird wie folgt ermittelt:

 

Logarithmischer Mittelwert Bearbeiten

Der logarithmische Mittelwert   von   und   ist definiert als

 

Für   liegt der logarithmische Mittelwert zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittelwert (für   ist er wegen der Division durch null nicht definiert).

Winsorisiertes und getrimmtes Mittel Bearbeiten

Kann man davon ausgehen, dass die Daten durch „Ausreißer“, das heißt einige wenige zu hohe oder zu niedrige Werte, kontaminiert sind, so kann man die Daten entweder durch Stutzen oder durch „Winsorisieren“ (benannt nach Charles P. Winsor) bereinigen und den getrimmten (bzw. gestutzten)   (engl. truncated mean) oder winsorisierten Mittelwert   (engl. Winsorized mean) berechnen. In beiden Fällen sortiert man die Beobachtungswerte zuerst nach aufsteigender Größe. Beim Trimmen schneidet man sodann eine gleiche Anzahl von Werten am Anfang und am Ende der Folge ab und berechnet von den übrig bleibenden Werten den Mittelwert. Hingegen werden beim „Winsorisieren“ die Ausreißer am Anfang und Ende der Folge durch den nächstkleineren (bzw. -größeren) Wert der restlichen Daten ersetzt.

Beispiel: Hat man 10 aufsteigend sortierte reelle Zahlen  , so ist das 10-%-getrimmte Mittel gleich

 

Indes ist der 10-%-winsorisierte Mittelwert gleich

 

D. h., das getrimmte Mittel liegt zwischen dem arithmetischen Mittel (keine Stutzung) und dem Median (maximale Stutzung). Üblicherweise wird ein 20-%-getrimmtes Mittel verwendet, d. h., 40 % der Daten bleiben unberücksichtigt für die Mittelwertberechnung. Die Prozentzahl richtet sich im Wesentlichen nach der Zahl der vermuteten Ausreißer in den Daten; für Bedingungen für eine Trimmung von weniger als 20 % sei auf die Literatur verwiesen.[3][4]

Quartilsmittel Bearbeiten

Das Quartilsmittel ist definiert als der Mittelwert des 1. und 3. Quartils:

 

Hierbei bezeichnet   das 25-%-Quantil (1. Quartil) und entsprechend   das 75-%-Quantil (3. Quartil) der Messwerte.

Das Quartilsmittel ist robuster als das arithmetische Mittel, aber weniger robust als der Median.

Mitte der kürzesten Hälfte Bearbeiten

Sei   das kürzeste Intervall unter allen Intervallen mit  , so ist   dessen Mitte (middle of the shortest half). Bei unimodalen symmetrischen Verteilungen konvergiert dieser Wert gegen das arithmetische Mittel.[5]

Gastwirth-Cohen-Mittel Bearbeiten

Das Gastwirth-Cohen-Mittel[6] nutzt drei Quantile der Daten: das  -Quantil und das  -Quantil jeweils mit Gewicht   sowie den Median mit Gewicht  :

 

mit   und  .

Spezialfälle sind

  • das Quartilsmittel mit  ,   und
  • das Trimean mit  ,  .

Bereichsmittel Bearbeiten

Das Bereichsmittel (englisch Mid-range) ist definiert als der arithmetische Mittelwert aus dem größten und dem kleinsten Beobachtungswert:

 

Dies ist gleichbedeutend mit:

 

Das „a-Mittel“ Bearbeiten

Für einen gegebenen reellen Vektor   mit   wird der Ausdruck

 

wobei über alle Permutationen   von   summiert wird, als „ -Mittel“   der nichtnegativen reellen Zahlen   bezeichnet.

Für den Fall   ergibt das genau das arithmetische Mittel der Zahlen  ; für den Fall   ergibt sich genau das geometrische Mittel.

Für die  -Mittel gilt die Muirhead-Ungleichung.

Beispiel: Sei   und

  dann gilt   und die Menge der Permutationen (in Kurzschreibweise) von   ist
 

Damit ergibt sich

: 

Gleitende Durchschnitte Bearbeiten

Gleitende Durchschnitte werden in der dynamischen Analyse von Messwerten angewandt. Sie sind außerdem ein gängiges Mittel der technischen Analyse in der Finanzmathematik. Mit gleitenden Durchschnitten kann das stochastische Rauschen aus zeitlich voranschreitenden Signalen herausgefiltert werden. Häufig handelt es sich dabei um FIR-Filter. Jedoch muss beachtet werden, dass die meisten gleitenden Durchschnitte dem echten Signal hinterherlaufen. Für vorausschauende Filter siehe z. B. Kalman-Filter.

Gleitende Durchschnitte benötigen normalerweise eine unabhängige Variable, die die Größe der nachlaufenden Stichprobe bezeichnet, bzw. das Gewicht des vorangehenden Wertes für die exponentiellen gleitenden Durchschnitte.

Gängige gleitende Durchschnitte sind:

  • arithmetische gleitende Durchschnitte (Simple Moving Average – SMA),
  • exponentiell gleitende Durchschnitte (Exponential Moving Average – EMA),
  • doppelt exponentiell gleitende Durchschnitte (Double EMA – DEMA),
  • dreifach,  -fach exponentiell gleitende Durchschnitte (Triple EMA – TEMA),
  • linear gewichtete gleitende Durchschnitte (linear abfallende Gewichtung),
  • quadratisch gewichtete gleitende Durchschnitte und
  • weitere Gewichtungen: Sinus, Triangular, …

In der Finanzliteratur können außerdem sogenannte adaptive gleitende Durchschnitte gefunden werden, die sich automatisch einer sich ändernden Umgebung (anderer Volatilität/Streuung etc.) anpassen:

  • Kaufmann’s Adaptive Moving Average (KAMA) sowie
  • Variable Index Dynamic Average (VIDYA).

Für die Anwendung von gleitenden Durchschnitten siehe auch Gleitende Durchschnitte (Chartanalyse) und MA-Modell.

Kombinierte Mittelwerte Bearbeiten

Mittelwerte lassen sich kombinieren; so entsteht etwa das arithmetisch-geometrische Mittel, das zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegt.

Verallgemeinerte Mittelwerte Bearbeiten

Es gibt eine Reihe weiterer Funktionen, mit denen sich die bekannten und weitere Mittelwerte erzeugen lassen.

Hölder-Mittel Bearbeiten

Für positive Zahlen   definiert man den  -Potenzmittelwert, auch Hölder-Mittel (englisch  -th power mean) als

 

Für   ist der Wert durch stetige Ergänzung definiert:

 

Man beachte, dass sowohl Notation als auch Bezeichnung uneinheitlich sind.

Für   ergeben sich daraus etwa das harmonische, das geometrische, das arithmetische, das quadratische und das kubische Mittel. Für   ergibt sich das Minimum, für   das Maximum der Zahlen.

Außerdem gilt bei festen Zahlen  : Je größer   ist, desto größer ist  ; daraus folgt dann die verallgemeinerte Ungleichung der Mittelwerte

 

Lehmer-Mittel Bearbeiten

Das Lehmer-Mittel[7] ist ein anderer verallgemeinerter Mittelwert; zur Stufe   ist es definiert durch

 

Es hat die Spezialfälle

  •  
  •   ist das harmonische Mittel;
  •   ist das geometrische Mittel von   und  ;
  •   ist das arithmetische Mittel;
  •  

Stolarsky-Mittel Bearbeiten

Das Stolarsky-Mittel zweier Zahlen   ist definiert durch

 

Integraldarstellung nach Chen Bearbeiten

Die Funktion

 

ergibt für verschiedene Argumente   die bekannten Mittelwerte von   und  :[8]

  •   ist das harmonische Mittel.
  •   ist das geometrische Mittel.
  •   ist das arithmetische Mittel.

Aus der Stetigkeit und Monotonie der so definierten Funktion   folgt die Mittelwertungleichung

 

Mittelwert einer Funktion Bearbeiten

Das arithmetische Mittel einer integrierbaren Funktion   in einem abgeschlossenen Intervall   ist definiert als

 .

Das quadratische Mittel einer stetigen Funktion ist

 

Diese finden in der Technik erhebliche Beachtung, siehe Gleichwert und Effektivwert.

Literatur Bearbeiten

  • F. Ferschl: Deskriptive Statistik. 3. Auflage. Physica-Verlag Würzburg, ISBN 3-7908-0336-7.
  • P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Kluwer Acad. Pub., 2003, ISBN 1-4020-1522-4 (umfassende Diskussion von Mittelwerten und den mit ihnen verbundenen Ungleichungen).
  • G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya: Inequalities. Cambridge Univ. Press, 1964.
  • E. Beckenbach, R. Bellman: Inequalities. Springer, Berlin 1961.
  • F. Sixtl: Der Mythos des Mittelwertes. R. Oldenbourg Verlag, München/Wien 1996, 2. Aufl., ISBN 3-486-23320-3.

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Durchschnittswert – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wiktionary: Mittelwert – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. a b F. Ferschl: Deskriptive Statistik. 3. Auflage. Physica-Verlag Würzburg, ISBN 3-7908-0336-7. S. 48–74.
  2. Horst Hischer: Viertausend Jahre Mittelwertbildung. Babylonische Ungleichungskette. Universität des Saarlandes, 2003, S. 12, abgerufen am 26. Mai 2022.
  3. R. K. Kowalchuk, H. J. Keselman, R. R. Wilcox, J. Algina: Multiple comparison procedures, trimmed means and transformed statistics. In: Journal of Modern Applied Statistical Methods. Band 5, 2006, S. 44–65, doi:10.22237/jmasm/1146456300.
  4. R. R. Wilcox, H. J. Keselman: Power analysis when comparing trimmed means. In: Journal of Modern Applied Statistical Methods. Band 1, 2001, S. 24–31, doi:10.22237/jmasm/1020254820.
  5. L. Davies: Data Features. In: Statistica Neerlandica. Band 49, 1995, S. 185–245, doi:10.1111/j.1467-9574.1995.tb01464.x.
  6. J. L. Gastwirth, M. L. Cohen: Small sample behavior of some robust linear estimators of location, J Amer Statist Assoc 65:946–973, 1970, doi:10.1080/01621459.1970.10481137, JSTOR:2284600.
  7. Eric W. Weisstein: Lehmer Mean. In: MathWorld (englisch).
  8. H. Chen: Means Generated by an Integral. In: Mathematics Magazine. Vol. 78, Nr. 5 (Dez. 2005), S. 397–399, JSTOR:30044201.