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Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)

Ereignis in der Wahrscheinlichkeitstheorie

Ein Ereignis (auch Zufallsereignis) ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein Teil einer Menge von Ergebnissen eines Zufallsexperiments, dem eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden kann. Beispielsweise wird das Ereignis „eine gerade Zahl zu würfeln“ der Teilmenge aus der Gesamtmenge aller möglichen Ergebnisse (dem Ergebnisraum) zugeordnet. Man spricht davon, dass ein Ereignis eintritt, wenn es das Ergebnis des Zufallsexperiments als Element enthält.

Das mit der Ergebnismenge identische Ereignis bezeichnet man als sicheres Ereignis, da es immer eintritt. Im Gegensatz dazu bezeichnet man das mit der leeren Menge identische Ereignis als unmögliches Ereignis: Es tritt niemals ein. Beim Beispiel des Würfelwurfs ist das sichere Ereignis die Menge und das unmögliche Ereignis die Menge .

DefinitionBearbeiten

Ist   ein Wahrscheinlichkeitsraum, so wird ein   Ereignis genannt. Die Ereignisse eines Wahrscheinlichkeitsraum sind somit diejenigen Teilmengen der Ergebnismenge  , die in der σ-Algebra  , dem sogenannten Ereignissystem liegen.

Die Ereignisse   sind diejenigen Mengen, denen man später eine Wahrscheinlichkeit   mittels eines Wahrscheinlichkeitsmaßes zuordnen will. Im allgemeineren Rahmen der Maßtheorie heißen die Ereignisse auch messbare Mengen.

BeispieleBearbeiten

Endliche ErgebnismengeBearbeiten

Gegeben sei die Ergebnismenge

 ,

versehen mit dem Ereignissystem

 .

Dann sind zum Beispiel die Mengen   und die Mengen   Ereignisse, da sie im Ereignissystem enthalten sind. Die Menge   ist kein Ereignis. Sie ist zwar eine Teilmenge der Ergebnismenge, aber nicht im Ereignissystem enthalten. Da das Ereignissystem eine σ-Algebra ist, sind die Ergebnismenge   und die leere Menge   immer Ereignisse.

Diskrete ErgebnismengeBearbeiten

Für beliebige diskrete Ergebnismengen  , also solche mit höchstens abzählbar unendlich vielen Elementen, setzt man meist die Potenzmenge   als Ereignissystem. Dann ist jede Teilmenge der Ergebnismenge ein Ereignis, da die Potenzmenge genau die Menge aller Teilmengen ist.

Reelle ErgebnismengenBearbeiten

Für reelle Ergebnismengen setzt man meist die Borelsche σ-Algebra als Ereignissystem. Hier sind dann zum Beispiel alle offenen Intervalle, also Mengen der Form   mit  , Ereignisse. Tatsächlich sind diese Mengensysteme so groß, dass fast alles, was man sinnvoll definieren kann, ein Ereignis ist. Dennoch gibt es Mengen, die keine Ereignisse sind, wie zum Beispiel die Vitali-Mengen.

Mengenoperationen mit EreignissenBearbeiten

Ist   ein Ergebnis eines Zufallsexperiments und   ein Ereignis, dann sagt man im Falle   auch: Das Ereignis   tritt ein.

Teilmengen und GleichheitBearbeiten

Falls ein Ereignis   eine Teilmenge eines weiteren Ereignisses   ist (notiert als  ), dann tritt mit dem Ereignis   stets auch das Ereignis   ein. Man sagt dann auch: Das Ereignis   zieht das Ereignis   nach sich. Für die Wahrscheinlichkeiten gilt in diesem Fall  . Das heißt: Zieht das Ereignis   das Ereignis   nach sich, dann ist die Wahrscheinlichkeit von   mindestens so groß wie die von  .

Es gilt   genau dann, wenn   und   gilt. Gleichheit von Ereignissen bedeutet also, dass das Ereignis   das Ereignis   in gleicher Weise nach sich zieht wie das Ereignis   das Ereignis  .

Schnittmenge und DisjunktheitBearbeiten

Die Schnittmenge   zweier Ereignisse ist wieder ein Ereignis. Es tritt genau dann ein, wenn   und   beide eintreten.

Wenn   gilt, also das gemeinsame Eintreten von   und   unmöglich ist, dann sagt man, die zwei Ereignisse schließen einander aus. Die Ereignisse   und   werden dann auch disjunkt oder unvereinbar genannt.

Sind allgemeiner   Ereignisse, dann ist der Schnitt

 

das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn alle   eintreten. Die Ereignisse heißen paarweise disjunkt, wenn   gilt für alle   mit  .

VereinigungBearbeiten

Auch die Vereinigungsmenge   zweier Ereignisse ist wieder ein Ereignis. Es tritt genau dann ein, wenn entweder   oder   oder beide Ereignisse eintreten. Anders ausgedrückt:   tritt ein, wenn mindestens eines der beiden Ereignisse   oder   eintritt.

Für die Wahrscheinlichkeit von Schnitt- und Vereinigungsmenge gilt stets die Formel

 

Speziell ist im Falle disjunkter Ereignisse  .

Sind allgemeiner   Ereignisse, dann ist die Vereinigung

 

das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn mindestens eines der   eintritt.

Es gilt stets die sogenannte σ-Subadditivität

 

Im Falle paarweise disjunkter Ereignisse gilt hierbei Gleichheit.

Für die Wahrscheinlichkeit von beliebigen Vereinigungen endlich vieler Ereignisse gilt die Siebformel.

Vollständiges EreignissystemBearbeiten

Eine Familie von Ereignisse, die paarweise disjunkt sind und deren Vereinigung ganz   ergibt, nennt man auch vollständiges Ereignissystem oder disjunkte Zerlegung von   (allgemein: eine Partition von  ). In diesem Fall gilt, dass für jedes Ergebnis des Zufallsexperiments genau eines der Ereignisse der disjunkten Zerlegung eintritt.

Komplement und DifferenzBearbeiten

Das komplementäre Ereignis   tritt genau dann ein, wenn das Ereignis   nicht eintritt. Es wird auch Gegenereignis genannt und mit   (alternativ auch mit  ) bezeichnet. Seine Wahrscheinlichkeit ist

 

Für die Komplemente von Schnitt- und Vereinigungsmengen gelten die de Morganschen Formeln

 
 

Speziell für zwei Ereignisse gilt   sowie  .

Die Differenzmenge   ist das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn das Ereignis  , aber nicht gleichzeitig das Ereignis   eintritt. Es gilt

 

Für seine Wahrscheinlichkeit gilt  . Im Spezialfall   folgt  .

Symmetrische DifferenzBearbeiten

Eine weitere Mengenoperation ist die symmetrische Differenz

 

zweier Ereignisse   und  . Das Ereignis   tritt genau dann ein, wenn entweder   oder   eintritt (aber nicht beide), also wenn genau eines der beiden Ereignisse eintritt. Es gilt

 

Unabhängige EreignisseBearbeiten

Die zwei Ereignisse   und   heißen voneinander unabhängig, wenn

 

Unter Verwendung der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit lässt sich das als

 

schreiben, vorausgesetzt  .

Allgemeiner heißt eine Familie   von Ereignissen unabhängig, wenn für jede endliche Teilmenge   gilt:

 

Die Ereignisse heißen paarweise unabhängig, wenn

 

für alle   gilt. Unabhängige Ereignisse sind paarweise unabhängig, die Umkehrung gilt jedoch im Allgemeinen nicht.

ElementarereignisBearbeiten

Mitunter werden die einelementigen Ereignisse   auch als Elementarereignisse bezeichnet.[1] Ist   höchstens abzählbar, dann lässt sich durch Festlegen der Wahrscheinlichkeiten   aller Elementarereignisse mit Hilfe von

 

die Wahrscheinlichkeit aller Ereignisse   bestimmen. Hierbei müssen die   so gewählt sein, dass   sowie

 

gilt.

Es ist allerdings zu beachten, dass mitunter in der Literatur die Ergebnisse   selbst Elementarereignisse genannt werden. Diese sind dann jedoch keine Ereignisse, denn es handelt sich nicht um Teilmengen von  .

Weiterhin muss für   die einelementige Menge   nicht unbedingt im Ereignisraum   liegen. Sie ist dann kein Ereignis.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3, S. 195.